回転体の体積(指数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ 軸まわりの回転体は、輪切りの円盤の積み重ね。位置 $x$ での断面は半径 $y$ の円で、面積 $\pi y^2$。これを区間全体で足し集める。

$$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx$$

$y=e^x$ の $2$ 乗で $e^{2x}$。中身が $1$ 次式($2x$)だから、積分は係数 $2$ で割って $\frac{e^{2x}}{2}$ — 代入して $V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$。

① $y^2$ を求める。 $y=e^x$ なので $y^2=e^{2x}$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx=\pi [\frac{e^{2x}}{2}{]}_0^1=\pi (\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2})=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$$

まとめ:回転体は $y^2$ を積分。$y=e^x$ なら $y^2=e^{2x}$(指数が $2$ 倍)。$\int e^{2x}=\frac{e^{2x}}{2}$($\frac{1}{2}$ を忘れずに)。$e^2$ が出る形の体積だ。

発展 — 一歩先へ。 「断面積を積分すると体積」という原理は回転体専用ではない。断面が正方形でも三角形でも、$V=\int S(x)dx$ — 回転体は断面がたまたま円($S=\pi y^2$)の特別な場合だ。この一般原理(カヴァリエリの原理の積分版)を知っていれば、変わり断面の立体の問題にも同じ型で入れる。

区間を $[0,a]$ に広げると $V=\frac{\pi (e^{2a}-1)}{2}$ — 長さを $1$ 増やすごとに体積は約 $e^2\approx 7.4$ 倍。指数の成長が体積では $2$ 乗で効く($e^{2x}$)ことの実感である。

別解

答えの妥当性を、単純な立体で挟んで確かめる目を持とう。

この回転体は「半径が $1$ から $e$ へ指数的に育つラッパ」。高さ($x$ 方向の長さ)は $1$ だ。

• 細い方に合わせた円柱(半径 $1$): $V_{\text{小}}=\pi \cdot 1^2\cdot 1=\pi$
• 太い方に合わせた円柱(半径 $e$): $V_{\text{大}}=\pi e^2\cdot 1\approx 7.39\pi$

ラッパは両者の間のはず。答えは

$$V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}\approx 3.19\pi$$

確かに $\pi <3.19\pi <7.39\pi$ — 合格だ。

さらに細かく言うと、$V=\pi \cdot \frac{e^2-1}{2}$ の $\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19$ は「$y^2=e^{2x}$ の平均値」— 断面積の平均 $\times$ 高さ、という体積の読み方そのもの。回転体の答えを出したら、外接・内接の円柱と比べる — 係数 $\pi$ の落とし・$2$ 乗忘れなどの大きなミスは、この検算でほぼ捕まえられる。