サイクロイドの面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数表示の曲線と $x$ 軸で囲む面積は $\int ydx$。

だが $x$ が $t$ の式なので、$dx=\frac{dx}{dt}dt$ に置きかえて $t$ で積分する。

$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$、$y=1-\cos t$ だから、被積分関数は $(1-\cos t{)}^2$。

${\cos }^{2}t$ は半角で下げて積分する。$t$ の範囲 $0\to 2\pi$ が $1$ アーチに対応する、と見通す。

① $t$ の積分に直す。 $\frac{dx}{dt}=1-\cos t$、$y=1-\cos t$ だから

$$S=\int ydx={\int }_0^{2\pi }(1-\cos t)\cdot (1-\cos t)dt={\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{2}dt$$

② 展開して半角。 $(1-\cos t{)}^2=1-2\cos t+{\cos }^{2}t=1-2\cos t+\frac{1+\cos 2t}{2}=\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{\cos 2t}{2}$。

③ 積分する。 $0$ から $2\pi$ で $\cos t$、$\cos 2t$ の積分は $0$(周期分)。よって

$$S={\int }_0^{2\pi }\frac{3}{2}dt=\frac{3}{2}\cdot 2\pi =3\pi$$

まとめ:媒介変数の面積は「$\int y\frac{dx}{dt}dt$」。サイクロイドでは $(1-\cos t{)}^2$ を展開し、${\cos }^{2}t$ を半角で下げる。$\cos t,\cos 2t$ の $0\sim 2\pi$ 積分は $0$ で、残る定数 $\frac{3}{2}$ だけが効いて $3\pi$。$1$ アーチの面積は「転がる円の面積 $\pi$ の $3$ 倍」という有名な結果。

発展 — 一歩先へ。 サイクロイド $1$ アーチの面積 $3\pi$ は、転がる円の面積($\pi \cdot 1^2=\pi$)のちょうど $3$ 倍。円が $1$ 回転して描く曲線の下に、円 $3$ つ分の面積が入る、という有名な結果だ(ロベルヴァル・ガリレオ)。

同じサイクロイドで、$1$ アーチの弧の長さは $8$(=半径の $8$ 倍)になる。面積 $3\pi$ も長さ $8$ も、円周率や半径から簡単な比で書ける、美しい曲線だ。

計算では ${\int }_0^{2\pi }\cos tdt=0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ という周期積分が効く。$1$ 周期にわたる $\cos$ の平均は $0$、${\cos }^2$ の平均は $\frac{1}{2}$。これを知っていると計算が速い。

別解

別解 — 周期積分の値を直接使う(得意な人向けの視点)。 半角の公式で丁寧に展開しなくても、$1$ 周期にわたる $\cos$ と ${\cos }^2$ の積分値を知っていれば一気に出せる。

被積分関数を展開する。

$$(1-\cos t{)}^2=1-2\cos t+{\cos }^{2}t.$$

これを $0$ から $2\pi$ まで積分する。$3$ つの項をそれぞれ、$1$ 周期の積分値で処理する。

• ${\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$。
• ${\int }_0^{2\pi }\cos tdt=0$($1$ 周期で $+$ と $-$ が打ち消す)。
• ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$(${\cos }^2$ の平均は $\frac{1}{2}$、幅 $2\pi$ を掛けて $\pi$)。

足すと

$$S=2\pi -2\cdot 0+\pi =3\pi .$$

半角で $\frac{1+\cos 2t}{2}$ に直してから積分する本解と同じ。${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$(平均 $\frac{1}{2}\times$ 周期 $2\pi$)を覚えておくと、三角関数の $2$ 乗の $1$ 周期積分がすぐ書ける。