道のりと変位

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変位と道のりは似て非なるもの。変位は「最終的にどれだけ移動したか」(符号込み)、道のりは「実際に歩いた距離の総計」(常に正)だ。

$$\text{変位}={\int }_0^{2}vdt,\text{道のり}={\int }_0^2|v|dt$$

$v=t-1$ は $t=1$ で符号が変わる($t<1$ で後退、$t>1$ で前進)。変位はそのまま積分、道のりは $t=1$ で区間を割って、後退分も正として足す — 絶対値の定積分の運動版である。

① 変位を求める。 符号込みで積分。

$$\text{変位}={\int }_0^2(t-1)dt=[\frac{t^2}{2}-t{]}_0^2=(2-2)-0=0$$

② 道のりを求める。 $v=t-1$ は $t=1$ で符号が変わる。$0\leqq t<1$ で負、$1<t\leqq 2$ で正。

$$\text{道のり}={\int }_0^1(1-t)dt+{\int }_1^2(t-1)dt$$

$$=[t-\frac{t^2}{2}{]}_0^1+[\frac{t^2}{2}-t{]}_1^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

まとめ:変位は「行って戻る」を打ち消し合う符号込みの積分。ここは $0$(出発点に戻る)。道のりは実際に動いた長さで、速度の符号が変わる $t=1$ で区間を分け、$|v|$ を積分する。変位 $0$ でも道のりは $1$ だ。

発展 — 一歩先へ。 「変位 $0$・道のり $1$」は、投げ上げたボールが手元に戻る運動と同じ構図だ(高さの変化 $0$、飛んだ距離は往復分)。積分の言葉では $\left|\int v\right|\leqq \int |v|$ — 絶対値と積分の順序を替えると値が縮む、という一般不等式の運動版である(等号は $v$ が符号を変えないとき)。

平面上の運動になると、道のりは $\int \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$ — 曲線の長さの公式と合流する。「速さを時間で積むと道のり」という今回の原理が、弧長公式の親でもある。

別解

$v$-$t$ グラフを描くと、この問題は三角形 $2$ つの絵になり、積分なしで答えが読める。

$v=t-1$ は、$(1,0)$ で $t$ 軸を横切る右上がりの直線。区間 $[0,2]$ で

• $t$ 軸の下($0\leqq t\leqq 1$): 底辺 $1$・高さ $1$ の三角形、面積 $\frac{1}{2}$ — 後退した距離
• $t$ 軸の上($1\leqq t\leqq 2$): 同じ形の三角形、面積 $\frac{1}{2}$ — 前進した距離

変位は符号込みの合計: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ — 後退と前進がちょうど相殺し、出発点に戻ってきた。

道のりは両方を正で足す: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。

「$v$-$t$ グラフの面積が移動距離」— 物理で学ぶこの読み方は、定積分の「符号付き面積」の意味そのもの。グラフが $1$ 次式(面積が三角形・台形)のうちは、積分計算より図形の方が速くて確実だ。