道のりと変位(三角関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変位と道のりは別物。この区別が急所だ。

変位は速度をそのまま積分する($\int \sin tdt$、符号込み)。$1$ 周期では行って戻るので、打ち消し合って $0$ になる。

道のりは実際に動いた長さで、速さ $|\sin t|$ を積分する($\int |\sin t|dt$)。これは $0$ にならない。

$\sin t$ は $t=\pi$ で符号が変わる。道のりの計算では、そこで区間を分けるのがポイントだ。

① 変位を求める。 $\sin t$ の $1$ 周期の積分。

$$\text{変位}={\int }_0^{2\pi }\sin tdt=[-\cos t{]}_0^{2\pi }=-\cos 2\pi +\cos 0=-1+1=0$$

② 道のりを求める。 $\sin t$ は $[0,\pi ]$ で正、$[\pi ,2\pi ]$ で負。$|\sin t|$ を積分する。$[0,\pi ]$ と $[\pi ,2\pi ]$ の面積は等しいので $2$ 倍。

$$\text{道のり}={\int }_0^{2\pi }|\sin t|dt=2{\int }_0^{\pi }\sin tdt=2\times 2=4$$

まとめ:$1$ 周期の変位は $0$(行って戻る)。しかし道のりは実際に動いた長さで、$|\sin t|$ を積分。$[0,\pi ]$ の面積 $2$ を $2$ 倍して $4$。単振動で「変位 $0$、道のり $4$」の典型だ。

発展 — 一歩先へ。 $1$ 周期での平均を考えると、変位と道のりの違いがはっきりする。平均の速度は、変位を時間で割って $\frac{0}{2\pi }=0$。行って戻るのだから当然だ。

一方、平均の速さは道のりを時間で割って $\frac{4}{2\pi }=\frac{2}{\pi }$。これは $|\sin t|$ の $1$ 周期平均で、山の高さ $1$ に対しておよそ $0.64$ 倍にあたる。

この $\frac{2}{\pi }$ は理科でも顔を出す。交流電流を全波整流したときの平均が、ピーク値の $\frac{2}{\pi }$ 倍になるのが同じ計算だ。行きも帰りも「進んだ量」として数える発想が、絶対値の平均という共通の形にまとまっている。

別解

別解 — 位置の関数を求めて動きを追う(得意な人向けの視点)。 絶対値の積分に頼らず、点の位置そのものを式にして、動きを目で追ってもよい。

速度 $v=\sin t$ を積分すると位置は $x(t)=-\cos t+C$。出発点を $x(0)=0$ とすると $C=1$ で、$x(t)=1-\cos t$。

この $x(t)$ を追う。$0\le t\le \pi$ では $v=\sin t\ge 0$ で進み、$x$ は $0$ から $x(\pi )=1-(-1)=2$ まで増える。$\pi \le t\le 2\pi$ では $v\le 0$ で戻り、$x$ は $2$ から $x(2\pi )=1-1=0$ へ減る。

変位は端どうしの差 $x(2\pi )-x(0)=0$。道のりは動いた総量で、$0\to 2$ の $2$ と $2\to 0$ の $2$ を足して $4$。絶対値を積分する本解と同じ「変位 $0$、道のり $4$」に、位置のグラフの往復から届く。