2曲線で囲まれた面積(指数関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 曲線で囲む面積は $\int (\text{上の式}-\text{下の式})dx$。

まず交点を確認する。$e^x=e^{-x}$ となるのは $x=0$ のみ。

$0<x\le 1$ では $e^x>e^{-x}$ なので、上が $y=e^x$、下が $y=e^{-x}$。区間の右端は $x=1$。

よって ${\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx$ を計算すればよい、と見通す。

① 上下を確認する。 交点は $e^x=e^{-x}$ より $x=0$。$0<x\le 1$ で $e^x>e^{-x}$ だから、上が $y=e^x$、下が $y=e^{-x}$。

② 面積を積分する。

$$S={\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx=[e^x+e^{-x}{]}_0^1$$

($\int e^{-x}dx=-e^{-x}$ なので、$-e^{-x}$ の符号に注意。$-(-e^{-x})=+e^{-x}$。)

③ 代入する。

$$=\left(e+\frac{1}{e}\right)-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2$$

まとめ:$2$ 曲線の面積は「交点を確認 → $\int (\text{上}-\text{下})$」。$e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$ になる符号($\int (-e^{-x})$ の扱い)に注意。原始関数は $e^x+e^{-x}$、代入して $e+\frac{1}{e}-2$。

発展 — 一歩先へ。 $y=e^x$ と $y=e^{-x}$ は、$y$ 軸を鏡にした左右対称の曲線。その差 $e^x-e^{-x}$ を $2$ で割ったものは双曲線正弦 $\sinh x$、和を $2$ で割ったものは双曲線余弦 $\cosh x$ と呼ばれる。

面積の原始関数が $e^x+e^{-x}$($=2\cosh x$)になるのは、$\sinh$ を積分すると $\cosh$ になるから。これは $\sin ,\cos$ の関係とそっくりだ。

じつは $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ は、垂れた鎖の形(懸垂線)でもある。指数関数の和と差は、こうして幾何と結びついている。

別解

別解 — $2$ つの面積を別々に出して引く(苦手な人向けの整理ルート)。 「上 $-$ 下」をまとめて積分するのが不安なら、それぞれの曲線と $x$ 軸で囲む面積を出してから引いてもよい。

$y=e^x$ と $x$ 軸・$x=1$ で囲む面積は

$${\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1.$$

$y=e^{-x}$ と $x$ 軸・$x=1$ で囲む面積は

$${\int }_0^1{e}^{-x}dx=[-e^{-x}{]}_0^1=-\frac{1}{e}-(-1)=1-\frac{1}{e}.$$

求める面積は、上の曲線の下の面積から下の曲線の下の面積を引いたもの。

$$(e-1)-\left(1-\frac{1}{e}\right)=e+\frac{1}{e}-2.$$

「上 $-$ 下」を一度に積分する本解と同じ。分けて計算すると、$e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$ になる符号を、$1$ つずつ落ち着いて処理できる。それぞれが正の面積なので、引き算の意味も見えやすい。