3つの一様乱数が単位球に入る確率(積分と確率)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(X,Y,Z)$ は単位立方体 $[0,1{]}^3$ に一様に散らばる。だから確率は「条件を満たす立体の体積」そのものだ。

条件 $X^2+Y^2+Z^2\le 1$ は、原点中心・半径 $1$ の球の内部。ただし $X,Y,Z$ はすべて $0$ 以上だから、球の第1象限の部分($x,y,z\ge 0$)だけを見る。

球は $8$ つの象限に均等に分かれるので、求める体積は球全体 $\frac{4}{3}\pi$ の $\frac{1}{8}$。それが確率になる。

① 確率を体積に翻訳する。 立方体は体積 $1$ に一様だから、求める確率は $\{(x,y,z):x,y,z\in [0,1],x^2+y^2+z^2\le 1\}$ の体積。

② 球の $\frac{1}{8}$。 この領域は、半径 $1$ の球 $x^2+y^2+z^2\le 1$ の第1象限($x,y,z\ge 0$)の部分。球は $3$ つの座標平面で $8$ 等分され、各象限は合同だから、体積は $$\frac{1}{8}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3=\frac{\pi }{6}.$$ ③ 結論。 立方体の体積が $1$ なので、確率はそのまま $$P=\frac{\pi }{6}.$$ (補足:体積は ${\int }_0^1{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}dydx$ の累次積分でも $\frac{\pi }{6}$ になる。)

まとめ 独立一様な $3$ 変数は単位立方体に一様、確率は立体の体積。条件領域は単位球の $\frac{1}{8}$ で $\frac{\pi }{6}$。確率・積分(体積)・立体の融合。

発展 — 一歩先へ。 次元を上げると、$n$ 次元の単位球の体積は $\frac{{\pi }^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}$。$n$ を大きくすると、この体積は $0$ に近づく — 高次元の球は「ほとんど空っぽ」で、質量が表面近くに集中する(次元の呪い)。3次元の $\frac{\pi }{6}\approx 0.52$ はまだ立方体の半分ほどだが、この割合は次元とともに急減する。

別解

別解 — 逐次積分で「スライスして足す」(苦手な人にも追えるルート)。 「球の $\frac{1}{8}$」という幾何を使わず、積分で直接体積を出す。

$x$ を固定して $[0,1]$ を動かすと、その断面は「$y^2+z^2\le 1-x^2$ かつ $y,z\ge 0$」、つまり半径 $\sqrt{1-x^2}$ の四分円だ。面積は $\frac{\pi }{4}(1-x^2)$。

これを $x=0$ から $1$ まで積分する。

$$V={\int }_0^1\frac{\pi }{4}(1-x^2)dx=\frac{\pi }{4}{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\pi }{6}.$$

球の対称性(本解)を知らなくても、「薄いスライスの面積を足す」という積分の原則で同じ $\frac{\pi }{6}$ に着く。確率は面積・体積そのもの、という視点(幾何確率)と、多重積分の考え方が一度に身につく。