2曲線間の面積(指数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの曲線で囲まれた面積は、「上 $-$ 下」の積分だ。

$$S={\int }_a^b\left\{(\text{上の関数})-(\text{下の関数})\right\}dx$$

この問題では、$y=e^x$ と $y=1$ のどちらが上か。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で確かめる。

$$x=0:e^0=1(\text{同じ高さ — ここで接する})$$ $$x=0.5:e^{0.5}\approx 1.65>1$$ $$x=1:e^1\approx 2.72>1$$

$e^x$ のほうが上だ($x=0$ では等しい)。

$$S={\int }_0^1\left(e^x-1\right)dx$$

「どちらが上か」を、必ず区間内で確認する。 これが急所である。

上下を取り違えると、答えの符号が反対になる。

そして、面積は必ず正だ。 負の答えが出たら、上下を間違えている。

① 上下を確かめる。 $0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\geqq 1$。曲線 $y=e^x$ が上、直線 $y=1$ が下。

② 「上 − 下」を積分する。

$$\text{面積}={\int }_0^1(e^x-1)dx=[e^x-x{]}_0^1=(e-1)-(1-0)=e-2$$

まとめ:$2$ 曲線(曲線と直線)の面積は「上 − 下」を積分。$e^x-1$ の原始関数は $e^x-x$。$e-2\approx 0.72$ が求める面積。上下の確認を忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 「上 $-$ 下」の積分は、$x$ 軸との位置関係を気にしなくてよい。この事実は、意外に重要だ。

$2$ 曲線が、両方とも $x$ 軸の下にある場合を考えよう。

$y=-1$(下の直線)と $y=-e^x$(上の曲線)、$0\leqq x\leqq 1$。

どちらも負の値。 定積分はどちらも負になる。

それでも、「上 $-$ 下」なら大丈夫だ。

$$S={\int }_0^1\left\{(-1)-(-e^x)\right\}dx={\int }_0^1(e^x-1)dx=e-2$$

同じ答えが出る。

もとの領域を、$x$ 軸に関して折り返しただけだから、面積が同じなのは当然である。

なぜ「上 $-$ 下」が万能なのか。

縦の細長い長方形を考えると分かる。

$x$ の位置での長方形の高さは、$x$ 軸の位置に関係なく

$$(\text{上の y 座標})-(\text{下の y 座標})$$

「高さ $=$ 上 $-$ 下」は、どこにあっても成り立つ。

そして、幅 $dx$ を掛けて足し上げれば、面積になる。

$$S={\int }_a^b\left\{f(x)-g(x)\right\}dx$$

$x$ 軸との関係は、まったく効いていない。

この普遍性が、「上 $-$ 下」の強さである。

逆に、「$x$ 軸との面積」を求めるときは、符号に注意が要る。

$$S={\int }_a^b|f(x)|dx$$

これは、「$f$ と $y=0$(x軸)のあいだの面積」だ。

$f$ が上なら $f-0$、$x$ 軸が上なら $0-f$。

つまり、$|f|$ を積分するのと同じこと。

まとめると、面積の計算は $1$ 種類しかない。

$$\boxed{S={\int }_a^b\left\{(\text{上})-(\text{下})\right\}dx}$$

$x$ 軸との面積も、$2$ 曲線の面積も、すべてこの形。

$x$ 軸は「$y=0$ という直線」にすぎない。 特別扱いする必要はない。

この統一的な視点をもてば、「$x$ 軸の下だから $-f$」といった場合分けを、暗記する必要がなくなる。

毎回「どっちが上か」だけを確認すればいい。

シンプルなルールを $1$ つ持っているほうが、複雑なルールを $3$ つ覚えるより、ずっと強い。

別解

引き算を、図形の引き算として見る。

積分の中で引き算をしなくても、面積そのものを引けばいい。

手順は $2$ ステップだ。

① $y=e^x$ の下の面積(前に計算したもの)を求める。

$$S_1={\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1.718$$

これは、$e^x$ と $x$ 軸、$x=0$、$x=1$ で囲まれた領域の面積。

② その中から、余分な部分(長方形)を引く。

$y=1$ の下、つまり $0\leqq y\leqq 1$、$0\leqq x\leqq 1$ の部分は、$1$ 辺 $1$ の正方形だ。

$$S_2=1\times 1=1$$

求める面積は、$S_1$ から $S_2$ を引いたもの。

$$S=S_1-S_2=(e-1)-1=e-2$$

$$e-2\approx 0.718$$

本解と同じ答え ✓

図でイメージしよう。

$e^x$ の下の領域から、床にあたる正方形を取り除く。 残ったのが、$e^x$ と直線 $y=1$ に挟まれた三日月型の領域だ。

この見方の利点。

「上 $-$ 下」という式変形を、図形の引き算として実感できる。

$${\int }_0^1\left(e^x-1\right)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx-{\int }_0^{1}1dx$$

積分の線形性で、$2$ つに分かれる。 そして

$${\int }_0^{1}1dx={\left[x\right]}_0^1=1(\text{正方形の面積!})$$

「定数 $1$ の積分」が「長方形の面積」になる — 当たり前のようで、味わい深い。

この考え方は、もっと複雑な場面でも効く。

例: $y=x^2$ と $y=x$ で囲まれた面積($0\leqq x\leqq 1$)。

$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

「直線の下の三角形($\frac{1}{2}$)から、放物線の下($\frac{1}{3}$)を引く」 と読める。

引き算を、$2$ つの面積の差として見る。

そうすれば、「なぜ上から下を引くのか」で迷うことはない。

大きいほうから小さいほうを引く — それだけの話だ。