x軸のまわりの回転体の体積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ 軸まわりの回転体は、各 $x$ での断面が半径 $y$ の円(面積 $\pi y^2$)。それを $x$ 方向に積み上げる。

だから体積は $V=\pi \int y^{2}dx$。

$y=\sqrt{x}$ なら $y^2=x$ と簡単になり、積分しやすい。

$y^2$ にすると根号が消えるのが、この問題の利点、と見通す。

① 断面積を作る。 $y=\sqrt{x}$ より $y^2=x$。断面(半径 $y$ の円)の面積は $\pi y^2=\pi x$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^4{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi$$

まとめ:$x$ 軸まわりの回転体は「$V=\pi \int y^{2}dx$」。断面が半径 $y$ の円だから面積 $\pi y^2$ を積み上げる。$y=\sqrt{x}$ は $y^2=x$ となって根号が消え、積分が $\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$ と簡単。

発展 — 一歩先へ。 $y=\sqrt{x}$ を回してできる立体は、放物線を回した「回転放物面」。この体積は、ぴったり包む円柱のちょうど半分になる。

半径 $\sqrt{4}=2$、高さ $4$ の円柱の体積は $\pi \cdot 2^2\cdot 4=16\pi$。その半分が $8\pi$ で、計算と一致する。円錐が円柱の $\frac{1}{3}$ なのに対し、回転放物面は $\frac{1}{2}$ だ。

断面積 $\pi y^2=\pi x$ が高さ $x$ に比例して真っすぐ増えるから、平均が最大値のちょうど半分になる。これが「円柱の半分」の理由。図形の対称性が、積分の値をきれいにする。

別解

別解 — 外接円柱の半分として出す(得意な人向けの視点)。 断面積が高さに比例して直線的に増えることに気づくと、積分せずに答えが出せる。

断面(半径 $y$ の円)の面積は $\pi y^2=\pi x$。これは $x=0$ で $0$、$x=4$ で $4\pi$ と、$x$ に正比例して増える。

面積が直線的に増えるなら、その平均は最大値のちょうど半分。だから体積は「最大断面積 $\times$ 長さ $\times \frac{1}{2}$」。

$$V=(4\pi )\times 4\times \frac{1}{2}=8\pi .$$

言いかえると、この立体を包む円柱(半径 $2$、高さ $4$、体積 $16\pi$)のちょうど半分。$\pi {\int }_0^{4}xdx$ を計算する本解と同じ $8\pi$。断面積が $x$ の $1$ 次式なら「平均 $=$ 半分」で、積分を暗算にできる。