2曲線間の面積(放物線と無理関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{x}$ と $x^2$ で囲む面積を求めたい。

まず交点を出す。$\sqrt{x}=x^2$ から $x=0,1$。

この区間で「上 $-$ 下」を積分すればよい。式にすると ${\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx$ だ。

急所は上下の判定。$\sqrt{x}\geqq x^2$ を確かめる一手が要る。

「$2$ 曲線の面積は、交点を出し、上下を判定し、積分する」という基本を、無理関数と放物線の組で使う。

① 交点と上下を確かめる。 $\sqrt{x}=x^2$ の両辺を $2$ 乗すると $x=x^4$、$x(x^3-1)=0$、$x=0,1$。$0<x<1$ では $\sqrt{x}>x^2$($y=\sqrt{x}$ が上)。

② 「上 − 下」を積分する。 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。

$$\text{面積}={\int }_0^1(x^{\frac{1}{2}}-x^2)dx=[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

まとめ:$y=\sqrt{x}$ と $y=x^2$ は $y=x$ に関して対称(互いに逆関数)で、$[0,1]$ で $\sqrt{x}$ が上。面積 $\frac{1}{3}$。$\sqrt{x}$ を $x^{1/2}$ に直して累乗の公式で積分するのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 この $\frac{1}{3}$ は、指数を変えた曲線の族の中に位置づけられる。$y=x^{1/n}$ と $y=x^n$($n\ge 1$)で囲む部分を考える。この $2$ 曲線も $y=x$ に関して対称な逆関数の対だ。

$0\le x\le 1$ での面積は ${\int }_0^1(x^{1/n}-x^n)dx=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n-1}{n+1}$。$n=2$ を入れると、いまの $\frac{1}{3}$ になる。

$n$ を大きくすると、$x^{1/n}$ は上の辺 $y=1$ に、$x^n$ は下の辺 $y=0$ に張りつく。面積 $\frac{n-1}{n+1}$ は $1$ に近づき、囲む部分が単位正方形いっぱいに広がる様子が式から読める。

別解

別解 — $y=x$ の対称性で $2$ つに割る(得意な人向けの視点)。 $y=\sqrt{x}$ と $y=x^2$ は、互いに逆関数の関係にある。だから直線 $y=x$ を鏡にして、左右対称の位置にある。

$0\le x\le 1$ では $\sqrt{x}\ge x\ge x^2$。つまり直線 $y=x$ は、$2$ 曲線のちょうど間を通る。

すると囲まれた領域は $y=x$ で上下 $2$ つに分かれ、対称性からその面積は等しい。上側($\sqrt{x}$ と $x$ のあいだ)だけ出して $2$ 倍すればよい。

$$2{\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx=2[\frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^2}{2}{]}_0^1=2(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}.$$

「上 $-$ 下」を一気に積分する本解と同じ $\frac{1}{3}$。逆関数どうしが $y=x$ で対称という事実を使うと、片側だけ計算して残りは対称性に任せられる。