数学III / 積分法の応用

速度と道のり

★ 基礎速度と道のり

問題

数直線上を動く点の速度が $v = t$ ( $t ≧ 0$ )で表される。時刻 $t = 0$ から $t = 2$ までに動いた道のりを求めよ。

ヒントを見る

速度が区間全体で $0$ 以上なら、道のりは速度の積分そのもの。まず符号を確認してから積分する。

解答・解説

方針

速度が正なら、道のりは速度の定積分 $\int_{0}^{2} v d t$ 。 $v = t ≧ 0$ なので絶対値は不要。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速度を積分すると、位置の変化が出る。

なぜか。 速度は位置の微分だった( $v = \frac{d x}{d t}$ )。その逆をたどるのが積分だ。

ただし、「変位」と「道のり」は違う。

変位 $= \int_{a}^{b} v d t$ (符号つき)
道のり $= \int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t$ (絶対値)

この問題では、どちらだろうか。

まず、速度の符号を確認する。

$v = t ≧ 0 (0 ≦ t ≦ 2)$

ずっと正の向きに動いている。 折り返しがない。

速度が正なら、変位と道のりは一致する。 絶対値をつけても、何も変わらない。

$道のり = \int_{0}^{2} t d t = [\frac{t ^{2}}{2}]_{0}^{2} = 2$

「まず符号を確認、正なら絶対値は不要」 — 面積のときと、まったく同じ作法だ。

公式道のり

= \int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t

(

v ≧ 0

なら絶対値不要)

$v = t$ は $0 ≦ t ≦ 2$ でつねに $0$ 以上。

$道のり = \int_{0}^{2} t d t = [\frac{t ^{2}}{2}]_{0}^{2} = \frac{4}{2} = 2$

v=t の t=0〜2 の面積が道のり=2

まとめ:道のりは「速度を時間で積分」。速度が正なら符号を気にせず $\int v d t$ 。位置の変化(変位)も同じ式だが、速度が負になる場合は道のりと変位がずれる(道のりは $∣ v ∣$ の積分)。

発展 — 一歩先へ。 「速度を積分すると距離」— この関係を、逆に読んでみよう。

微分と積分が、位置・速度・加速度を結ぶ階段になっている。

$x \int ⇄ 微分 v \int ⇄ 微分 a$

上りは微分、下りは積分。

この階段を下ることで、運動の未来が予測できる。

ニュートンの運動方程式は、加速度を与える。

$a = \frac{F}{m}$

力が分かれば、加速度が分かる。

加速度を積分すれば、速度が分かる。

$v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a d t$

速度を積分すれば、位置が分かる。

$x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v d t$

「力 → 加速度 → 速度 → 位置」

この $2$ 回の積分で、物体の未来の位置が完全に決まる。

これが、古典力学の全体像だ。

ただし、 $2$ つの積分定数( $v_{0}$ と $x_{0}$ )が必要になる。

$v_{0}$ : 初速度
$x_{0}$ : 初期位置

「力の法則」だけでは、未来は決まらない。 「今、どこに、どんな速さでいるか」という初期条件が要る。

同じ重力(同じ $a = - g$ )でも、投げ上げるか、落とすかで、軌道は違う。

そして、これが「決定論」という思想を生んだ。

$18$ 世紀の数学者ラプラスは、こう言った。

「もし、宇宙のすべての粒子の位置と速度を知る知性がいれば、その知性にとって未来は現在と同じく明らかである。」

ラプラスの悪魔と呼ばれる思考実験だ。

すべての初期条件が分かれば、積分によって未来が完全に計算できる — 微積分の力への、絶大な信頼である。

この夢は、 $20$ 世紀に $2$ 度、打ち砕かれた。

① 量子力学: 位置と速度を、同時に正確には知りえない(不確定性原理)

② カオス理論: 初期条件のわずかな誤差が、指数関数的に拡大する(バタフライ効果)

だが、それでも。

ロケットは月に着き、探査機は $50$ 億 km 先の冥王星に到達した。

「加速度を $2$ 回積分すれば、位置が出る」

この単純な事実が、人類を宇宙へ送り出したのだ。

$\int_{0}^{2} t d t = 2$ という、教科書の $1$ 行。

その先に、天体の軌道計算がある。

答

$2$

別解

積分せずに、 $v$ – $t$ グラフの面積として求める。

速度のグラフを描いてみよう。

$v = t$ は、原点を通る傾き $1$ の直線だ。

$t = 0$ で $v = 0$ 、 $t = 2$ で $v = 2$ 。

この直線と $t$ 軸、 $t = 2$ で囲まれる図形は — 直角三角形である。

底辺: $2$ (時間)
高さ: $2$ ( $t = 2$ での速度)

$面積 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$

道のりは $2$ ✓ 積分せずに答えが出た。

なぜ、 $v$ – $t$ グラフの面積が道のりになるのか。

細かく刻んで考えよう。

ごく短い時間 $Δ t$ のあいだ、速度はほぼ一定( $v$ )とみなせる。

その間に進む距離は

$(距離) \approx v \times Δ t$

これは、 $v$ – $t$ グラフの細長い長方形の面積だ。

それを全部足し上げれば、総距離になる。

$道のり = \sum v Δ t \to \int v d t$

「速さ $\times$ 時間 $=$ 距離」という小学校の公式を、速度が変化する場合に拡張したもの — それが積分なのだ。

この見方は、実用的だ。

等加速度運動なら、 $v$ – $t$ グラフは直線になる。 面積は台形や三角形なので、積分せずに計算できる。

例: 初速 $v_{0}$ 、加速度 $a$ で動くとき、時間 $t$ での移動距離は?

$v = v_{0} + a t$

$v$ – $t$ グラフは、切片 $v_{0}$ 、傾き $a$ の直線。

台形の面積(上底 $v_{0}$ 、下底 $v_{0} + a t$ 、高さ $t$ )。

$x = \frac{v _{0} + ( v _{0} + a t )}{2} \times t = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

物理の公式が出てきた!

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

この有名な式は、 $v$ – $t$ グラフの台形の面積にすぎない。

丸暗記していた公式が、図形の面積として"見える"ようになる。

そして、もう $1$ つ大事な区別。

もし速度が途中で負になったら?

例: $v = t - 2$ ( $0 ≦ t ≦ 4$ )。

$t < 2$ では負(逆向き)、 $t > 2$ では正。

変位(符号つき):

$\int_{0}^{4} (t - 2) d t = [\frac{t ^{2}}{2} - 2 t]_{0}^{4} = 8 - 8 = 0$

元の位置に戻っている。

道のり(絶対値):

$\int_{0}^{4} ∣ t - 2∣ d t = \int_{0}^{2} (2 - t) d t + \int_{2}^{4} (t - 2) d t = 2 + 2 = 4$

実際には $4$ だけ動いている。

グラフで見れば、 $t$ 軸の下の三角形と、上の三角形。 変位は打ち消し合い、道のりは足し合わされる。

「符号つきか、絶対値か」 — 問題文をよく読むこと。

ポイント

道のり $= \int ∣ v ∣ d t$ ( $v ≧ 0$ なら $\int v$ )。
速度の積分が道のり。

よくある間違い

速度の符号を確認せず、いつでも $\int v d t$ で道のりが出ると思い込む。 $v$ が負になる区間があれば、絶対値が要る
「道のり」と「変位」を混同する。往復する運動では、変位が $0$ でも道のりは $0$ でない
速度 $v$ を積分せず、加速度と混同して微分してしまう。位置 → 速度が微分、速度 → 位置が積分