対数×余弦の曲線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線の長さは $L=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$。$y=\log (\cos x)$ の微分は $y^{\prime }=-\tan x$ で、$1+(y^{\prime }{)}^2=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$。

根号がきれいに外れて($\cos x>0$ の範囲)、$L={\int }_0^{\pi /3}\frac{dx}{\cos x}$ に落ちる。

$\frac{1}{\cos x}$ の積分が本丸だ。分母分子に $\cos x$ を掛けて $t=\sin x$ の部分分数に持ち込む。最後は共役 $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ の関係で、対数が1つにまとまる。

① 根号を外す。 $y^{\prime }=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$ だから

$$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\sqrt{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{\cos x}\left(0\le x\le \frac{\pi }{3}\text{では}\cos x>0\right)$$

$$L={\int }_0^{\pi /3}\frac{dx}{\cos x}$$

② $\frac{1}{\cos x}$ を積分する。 分母分子に $\cos x$ を掛けて

$$\int \frac{\cos x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{\cos x}{1-{\sin }^{2}x}dx\stackrel{t=\sin x}{\to }\int \frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt=\frac{1}{2}\log \frac{1+t}{1-t}$$

③ 値を入れる。 $t=\sin x$ は $0\to \frac{\sqrt{3}}{2}$ だから

$$L=\frac{1}{2}\log \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\log \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$$

ここで $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ より $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3}{)}^2$。よって

$$L=\frac{1}{2}\log (2+\sqrt{3}{)}^2=\log \left(2+\sqrt{3}\right)$$

まとめ: $1+{\tan }^2=\frac{1}{{\cos }^2}$ で根号が外れる曲線は、長さの計算の名品。$\frac{1}{\cos }$ の積分(掛けて置換して部分分数)と、共役 $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ による最後の畳み込みまで、計算の見せ場が続く。

発展 — 一歩先へ。 $\int \frac{dx}{\cos x}$ は航海術の積分でもある。メルカトル図法(角度が正しい世界地図)で緯度 $x$ の緯線を描く高さがちょうどこの積分で、高緯度ほど地図が縦に伸びる(グリーンランドが巨大に見える)理由がこの $\log$ の発散だ。曲線の長さの計算が、16世紀の地図製作の数学と同じ式に出会う。

別解

半角置換 $t=\tan \frac{x}{2}$(万能置換で一気に有理化)。 $\frac{1}{\cos x}$ の積分には、三角関数を全部 $t=\tan \frac{x}{2}$ の有理式にする万能の置換もある。

$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$

を入れると

$$\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{2dt}{1-t^2}=\int \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt=\log \frac{1+t}{1-t}$$

$x:0\to \frac{\pi }{3}$ で $t:0\to \tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ だから

$$L=\log \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\log \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\log \frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}=\log (2+\sqrt{3})$$

$t=\sin x$ の部分分数(本解)と半角置換(本ルート)、$\frac{1}{\cos x}$ の2大ルートだ。半角置換は「三角関数の有理式なら何でも有理関数に変える」最終兵器で、他の手が尽きたときの保険になる。