回転体の体積(√sin)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=\sqrt{\sin x}$ を $x$ 軸まわりに回す立体の体積を考える。

回転体で使うのは $y^2$。$y=\sqrt{\sin x}$ を $2$ 乗すると $y^2=\sin x$ で、根号が消える。

だから積分は ${\int }_0^{\pi }\sin xdx$ という、やさしい形になる。

${\sin }^2$ ではなく $\sin$ の積分で済む。根号つきの曲線ほど回転体では計算が楽、という御利益が効くケースだ。

① なぜ $y^2$ を積分するのかを確かめる。 できる立体を $x$ 軸に垂直な平面で薄く輪切りにする。切り口は半径 $y$ の円で、その面積は $\pi y^2$。この円板を $x=0$ から $x=\pi$ まで積み重ねた（積分した）ものが体積だ。だから公式には $y$ ではなく $y^2$ が出る。

② $y^2$ を求める。 $y=\sqrt{\sin x}$ を $2$ 乗すると、根号が外れて $y^2=\sin x$。回転体で使うのは $y^2$ なので、この根号がちょうど消えてくれる。

③ 積分する。 $\int \sin xdx=-\cos x$ を使う。

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }\sin xdx=\pi [-\cos x{]}_0^{\pi }$$

上端 $\pi$ と下端 $0$ を代入する。$-\cos \pi =1$、$-\cos 0=-1$ だから、

$$=\pi \{1-(-1)\}=\pi \cdot 2=2\pi$$

まとめ:回転体の体積は「断面の円の面積 $\pi y^2$ を積分する」。だから公式に $y^2$ が出る。$y=\sqrt{\sin x}$ は、その $y^2$ で根号が消えるように作られた問題で、${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ から $V=2\pi$。根号つきの曲線ほど回転体では計算が楽になる、という見本だ。

発展 — 一歩先へ。 この御利益は、$y=\sqrt{f(x)}$ という形なら回転体でいつでも起きる。回転体で使うのは $y^2=f(x)$ なので、根号がそのまま外れて $V=\pi \int f(x)dx$ になる。被積分関数が $f$ そのものにまで簡単になるわけだ。

逆に、根号のない $y=\sin x$ を回すと $y^2={\sin }^{2}x$ が現れる。こちらは半角の公式で $\frac{1-\cos 2x}{2}$ に直してからでないと積分できない。同じ $\sin$ でも、根号の有無で難しさが入れかわる。

だから根号を見て身構える必要はない。回転体では $2$ 乗される瞬間に、根号のほうがむしろ味方になる。

別解

別解 — 置換 $u=\cos x$ で角度を消す(得意な人向けの視点)。 体積は $V=\pi {\int }_0^{\pi }\sin xdx$。この積分を原始関数 $-\cos x$ で片づけるかわりに、$u=\cos x$ とおくと、角度そのものが消えて長さを測るだけの計算に変わる。

$u=\cos x$ とおくと $du=-\sin xdx$、すなわち $\sin xdx=-du$。区間は $x:0\to \pi$ のとき $u:1\to -1$ と対応する。

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }\sin xdx=\pi {\int }_1^{-1}(-du)=\pi {\int }_{-1}^{1}du=\pi [u{]}_{-1}^1=\pi \cdot 2=2\pi .$$

$\sin$ の積分が、区間 $[-1,1]$ の幅を測るだけの $\int du$ に化けた。$-\cos x$ の符号で迷いやすい人には、$\sin xdx$ を丸ごと $-du$ に置きかえるこの道が安全だ。本解と同じ $2\pi$。