数学III / 積分法の応用

積分方程式(未知関数を求める)

最難関編積分方程式加法定理

問題

連続な関数 $f (x)$ が

$f (x) = sin x + \int_{0}^{π} f (t) cos (x - t) d t$

を満たすとき、 $f (x)$ を求めよ。

ヒントを見る

積分の中の $cos (x - t)$ — $x$ と $t$ を分離できる公式があったはず。分離できれば、積分全体は「定数×cosx+定数×sinx」となり、 $f$ の形が決まってしまう。あとはその定数を自分自身で確かめる連立。

解答・解説

方針

cos(x−t) を加法定理で cosx cost + sinx sint にほどくと、積分は x によらない2つの定数 A, B を係数とする cosx, sinx の1次結合になる — f の形が先に確定する。その形を A, B の定義に代入して自己整合の連立を解く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分の中の $cos (x - t)$ には、 $x$ と $t$ が両方入っていて手が出ない。加法定理 $cos (x - t) = cos x cos t + sin x sin t$ でほどくと、 $x$ の部分は積分の外に出る:

$\int_{0}^{π} f (t) cos (x - t) d t = cos x A \int_{0}^{π} f (t) cos t d t + sin x B \int_{0}^{π} f (t) sin t d t$

$A, B$ は $x$ によらないただの定数だ。与式は $f (x) = sin x + A cos x + B sin x$ となり、 $f$ の形が先に確定する。

あとは、この形を $A, B$ の定義に戻して代入すれば、自己整合の連立方程式になる。

重要核を加法定理で分離 → 未知関数の形が確定 → 定数を自己整合の連立で決める。部品:

\int_{0}^{π} cos^{2} t d t = \int_{0}^{π} sin^{2} t d t = \frac{π}{2}

、

\int_{0}^{π} sin t cos t d t = 0

① 形を確定する。 上の分離により

$f (x) = A cos x + (1 + B) sin x$

② $A$ を決める。 この形を $A = \int_{0}^{π} f (t) cos t d t$ に代入:

$A = A \int_{0}^{π} cos^{2} t d t + (1 + B) \int_{0}^{π} sin t cos t d t = A \cdot \frac{π}{2} + 0$

よって $A (1 - \frac{π}{2}) = 0$ で、 $1 - \frac{π}{2} \neq = 0$ だから $A = 0$ 。

③ $B$ を決めて仕上げる。 同様に

$B = \int_{0}^{π} {(1 + B) sin t} sin t d t = (1 + B) \frac{π}{2} ⟹ B (1 - \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} ⟹ B = \frac{π}{2 - π}$

したがって

$f (x) = (1 + \frac{π}{2 - π}) sin x = \frac{2}{2 - π} sin x$

( $2 - π < 0$ なので係数は負 — もとの方程式に戻して代入すると、たしかに両辺が一致することが確かめられる。)

まとめ: 「核の分離 → 形の確定 → 自己整合」の3手。 $\int sin^{2}, \int cos^{2}, \int sin cos$ ( $[0, π]$ で $\frac{π}{2}, \frac{π}{2}, 0$ )の3点セットが計算のすべてで、未知関数の問題が定数2つの連立に潰れる構造の鮮やかさを味わいたい。

発展 — 一歩先へ。 核 $cos (x - t)$ が $cos x cos t + sin x sin t$ と「 $x$ の関数× $t$ の関数」の和に分解できたことが全てだった。関数を $sin, cos$ の成分に分けて扱うこの見方は、フーリエ級数(任意の周期関数を三角関数の和に分解する理論)の最小モデルで、途中で使った $\int sin cos = 0$ は「 $sin$ と $cos$ の直交性」と呼ばれるその心臓部だ。

答

$f (x) = \frac{2}{2 - π} sin x$

別解

形を先に断定して係数比較(未知数が最初から2つ)。 加法定理でほどいた瞬間に「 $f$ は $sin x$ と $cos x$ の1次結合」と分かるのだから、最初から $f (x) = α sin x + β cos x$ とおいてしまう。

必要な積分は3つだけ( $[0, π]$ 上):

$\int_{0}^{π} sin t cos t d t = 0, \int_{0}^{π} sin^{2} t d t = \int_{0}^{π} cos^{2} t d t = \frac{π}{2}$

代入して積分を実行すると

$\int_{0}^{π} f (t) cos (x - t) d t = \frac{π}{2} β cos x + \frac{π}{2} α sin x$

方程式 $α sin x + β cos x = sin x + \frac{π}{2} α sin x + \frac{π}{2} β cos x$ で、 $sin x, cos x$ の係数を比較して

$α = 1 + \frac{π}{2} α, β = \frac{π}{2} β$

第2式から $β = 0$ 、第1式から $α = \frac{2}{2 - π}$ 。

積分に名前を付ける(本解の $A, B$ )か、関数の形に名前を付ける( $α, β$ )か — 数IIの積分方程式で出会った2つの流儀が、三角関数の直交性( $\int sin cos = 0$ )を相棒にして戻ってくる。

ポイント

$cos (x - t)$ の分離で $f = A cos x + (1 + B) sin x$ 。
$A = \frac{π}{2} A$ → $A = 0$ 、 $B = (1 + B) \frac{π}{2}$ → $B = \frac{π}{2 - π}$ 。
$f (x) = \frac{2}{2 - π} sin x$ (係数は負)。

よくある間違い

$cos (x - t)$ の $x$ を定数扱いして、そのまま $t$ で積分しようとする(加法定理でほどくのが第一手)。
$\int_{0}^{π} sin t cos t d t$ を $\frac{1}{2}$ とする(正しくは $0$ 。 $\frac{1}{2} sin 2 t$ の積分で確認)。
求めた $f$ を元の方程式に代入する検算を飛ばす(係数 $\frac{2}{2 - π}$ が負になる違和感を検算で解消しておく)。