回転体の体積(放物線²)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体の公式に、そのまま代入する。

$$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$$

$y=x^2$ だから

$$y^2={\left(x^2\right)}^2=x^4$$

指数が、$2$ から $4$ へ跳ね上がった。

回転体では $y$ を $2$ 乗するので、もとの関数の次数が倍になる。

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\frac{\pi }{5}$$

$4$ 次関数の積分だから、分母が $5$ になる。

指数が上がるほど、断面積は $0$ の近くで小さくなり、体積も小さくなる。

• $y=\sqrt{x}$ → $y^2=x$ → $V=\frac{\pi }{2}$
• $y=x$ → $y^2=x^2$ → $V=\frac{\pi }{3}$
• $y=x^2$ → $y^2=x^4$ → $V=\frac{\pi }{5}$

曲線が"低く這う"ほど、細い立体になる。 答えの大小に、納得がいく。

① $y^2$ を求める。 $y=x^2$ なので $y^2=x^4$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx=\pi [\frac{x^5}{5}{]}_0^1=\frac{\pi }{5}$$

まとめ:回転体は $y^2$ を積分。$y=x^2$ なら $y^2=x^4$ で次数が上がる。$\int x^4=\frac{x^5}{5}$。答え $\frac{\pi }{5}$。$y=x$($\frac{\pi }{3}$)や $y=\sqrt{x}$($\frac{\pi }{2}$)と比べると、曲線が寝ているほど体積が小さい。

発展 — 一歩先へ。 回転体の体積を求める方法は、実は $2$ 種類ある。

① 円板法(ディスク法) — これまで使ってきた方法

軸に垂直に切る。断面は円(または円環)。

$$V=\pi \int y^{2}dx$$

② 円筒殻法(シェル法)

軸に平行に切る。断面は、薄い円筒の"皮"。

$$V=2\pi \int xydx$$

この $2$ 番目が、意外に強力だ。

$y$ 軸まわりの回転を、円筒殻法で計算してみよう。

位置 $x$ にある、幅 $dx$ の細い短冊を考える。

これを $y$ 軸まわりに回すと、半径 $x$、高さ $y$、厚み $dx$ の薄い円筒になる。

その体積は

$$(\text{円周})\times (\text{高さ})\times (\text{厚み})=2\pi x\times y\times dx$$

足し上げる。

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x\cdot x^{2}dx=2\pi {\int }_0^1{x}^{3}dx=2\pi \times \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}$$

$y$ 軸まわりの体積 $\frac{\pi }{2}$ ✓ 別解と一致した。

しかも、こちらのほうが計算が楽だ。

円板法では「円柱から空洞を引く」という $2$ ステップが要った。

円筒殻法なら、$1$ つの積分で終わる。

$2$ つの方法の使い分け。

• 円板法: 軸に垂直に切ったとき、断面が単純な円になる場合
• 円筒殻法: 軸に平行に切ったほうが、式が簡単になる場合

とくに、$y$ 軸まわりの回転で、$y=f(x)$ が $x$ について解きにくいとき、円筒殻法が圧倒的に有利だ。

例: $y=e^{x^2}$ を $y$ 軸まわりに回す。

円板法なら、$x=\sqrt{\log y}$ と解く必要がある。 面倒だ。

円筒殻法なら

$$V=2\pi \int x{e}^{x^2}dx$$

$u=x^2$ の置換で、あっさり解ける。

「切り方を変えると、計算が変わる」

同じ立体でも、どう切るかで、難易度がまるで違う。

この $2$ つの視点をもつことが、回転体の問題を制する鍵である。

そして、面積のときも同じだった。

• 縦に切る → $\int ydx$
• 横に切る → $\int xdy$

縦か、横か。垂直か、平行か。

「どう切るか」を選べることが、積分の自由度であり、面白さなのだ。

別解

同じ領域を、$y$ 軸のまわりに回してみる。

軸が変われば、体積はどうなるか。 これを確かめる別解である。

回転させる領域は、$y=x^2$ と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれた部分。

$y$ 軸のまわりに回すと、どんな立体になるか。

まず、この領域を $y$ 軸で回すと、外側は「半径 $1$、高さ $1$ の円柱」の形になる($x=1$ の縁が、半径 $1$ の円を描く)。

そして、内側には空洞ができる。

空洞の形は、$y=x^2$ すなわち $x=\sqrt{y}$ の左側を回した立体だ。

引き算で求める。

$$V=\underset{\text{外側の円柱}}{\underbrace{\pi \times 1^2\times 1}}-\underset{\text{空洞}}{\underbrace{\pi {\int }_0^1{\left(\sqrt{y}\right)}^{2}dy}}$$

空洞の部分を計算する。

$$\pi {\int }_0^{1}ydy=\pi {\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}$$

引く。

$$V=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$$

$y$ 軸まわりの体積は $\frac{\pi }{2}$。

$x$ 軸まわり($\frac{\pi }{5}$)より、はるかに大きい!

なぜ、こんなに違うのか。

回転軸から遠いほど、大きく振り回されるからだ。

$x$ 軸まわりでは、領域の大部分が軸のすぐ近くにある($y=x^2$ は $0$ の近くで低く這っている)。だから、あまり広がらない。

$y$ 軸まわりでは、領域の大部分が軸から遠い($x$ が $1$ に近い部分に、面積が集中している)。だから、大きく広がる。

同じ図形でも、どこを軸にするかで、体積は $2$ 倍以上変わる。

この直感を、定量化するのがパップス・ギュルダンの定理だ。

$$V=2\pi \bar{r}\times S$$

$\bar{r}$ は、図形の重心から軸までの距離。

この領域の面積は

$$S={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$

重心の座標を計算すると、$\bar{x}=\frac{3}{4}$、$\bar{y}=\frac{3}{10}$ になる。

$x$ 軸まわり($\bar{r}=\bar{y}=\frac{3}{10}$):

$$V=2\pi \times \frac{3}{10}\times \frac{1}{3}=\frac{\pi }{5}✓$$

$y$ 軸まわり($\bar{r}=\bar{x}=\frac{3}{4}$):

$$V=2\pi \times \frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{\pi }{2}✓$$

どちらも、公式と完全に一致する。

「重心が動いた距離 $\times$ 面積」

重心が軸から遠ければ($\bar{r}$ が大きければ)、体積も大きい。 直感が、そのまま式になっている。

回転体を「面積が動いた軌跡」として見る視点。

それは、積分の計算を、$1$ 行の掛け算に変えてしまう。