曲線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線の長さは公式

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

(微小区間の斜辺 $\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$ を足し集めた式)で計算する。

$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ の微分は $y^{\prime }=x^{1/2}=\sqrt{x}$。すると

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+x$$

根号の中がただの $1$ 次式になった — きれいに積分できるよう設計された形だ。${\int }_0^3\sqrt{1+x}dx={\left[\frac{2}{3}(1+x{)}^{3/2}\right]}_0^3=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$。

① $y^{\prime }$ と $1+(y^{\prime }{)}^2$ を求める。 $y=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$ より $y^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$。$(y^{\prime }{)}^2=x$ なので

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+x$$

② 長さの積分を計算する。

$$L={\int }_0^3\sqrt{1+x}dx=[\frac{2}{3}(1+x{)}^{\frac{3}{2}}{]}_0^3$$

③ 代入する。 $(1+3{)}^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=8$、$1^{\frac{3}{2}}=1$。

$$=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{2}{3}\times 7=\frac{14}{3}$$

まとめ:曲線の長さは $L=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$。この問題は $(y^{\prime }{)}^2=x$ となり、根号の中が $1+x$($1$ 次式)ときれいになるよう設計されている。$\int \sqrt{1+x}=\frac{2}{3}(1+x{)}^{3/2}$。答え $\frac{14}{3}$。

発展 — 一歩先へ。 弧長の公式で根号がきれいに外れる関数は珍しい。$y=x^{3/2}$ 系(今回)、懸垂線 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$($1+(y^{\prime }{)}^2$ が完全平方になる)、放物線(置換が要る)— 教科書の弧長問題がいつも同じ顔ぶれなのは、「積分できる $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$」が本当に少ないからだ。一般の曲線の長さは、数値積分でしか出せない(楕円の周長が「楕円積分」という新しい関数を生んだ歴史もある)。

公式自体の心は三平方の定理 — 微小な横 $dx$ と縦 $dy$ の斜辺を足し集める。媒介変数表示なら $L=\int \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$ と同じ心で書き直せる。

別解

曲線の長さの答えは、まっすぐな距離と比べることで正しさの感触が得られる。

曲線の両端は、始点 $(0,0)$ と終点 $\left(3,\frac{2}{3}\cdot 3^{3/2}\right)=(3,2\sqrt{3})$。$2$ 点をまっすぐ結んだ弦の長さは

$$\sqrt{3^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+12}=\sqrt{21}\approx 4.58$$

曲線は $2$ 点を結ぶ最短経路(直線)より必ず長いから、$L>\sqrt{21}$ のはず。答え $\frac{14}{3}=4.666\dots$ は確かに $4.58$ よりわずかに大きい — しかも「わずかに」であることも合っている(この曲線はゆるやかに曲がるだけで、直線に近い形だ)。

もし計算結果が $\sqrt{21}$ より小さければ即座に誤り、大きすぎても(たとえば $10$ など)怪しい。弧長 $\geqq$ 弦、という幾何の大原則は、$1$ 行の距離計算でできる強力な検算である。