数学III / 積分法の応用

曲線の長さ(懸垂線)

★★★★ 難関曲線の長さ

問題

曲線 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ の $0 \leq x \leq 1$ の部分の長さを求めよ。

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曲線の長さは $\int 1 + (y^{'})^{2} d x$ 。 $y^{'}$ を求めて $1 + (y^{'})^{2}$ を計算すると、根号の中がきれいな $2$ 乗になる。

解答・解説

方針

曲線の長さは $L = \int_{a}^{b} 1 + (y^{'})^{2} d x$ 。 $y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ を求め、 $1 + (y^{'})^{2}$ が完全平方 $(\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}$ になることを使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線の長さは公式 $L = \int 1 + (y^{'})^{2} d x$ 。

ふつうは根号が残って積分しにくい。だがこの曲線(懸垂線)では、 $1 + (y^{'})^{2}$ がちょうど完全平方になり、根号がきれいに外れる。

まず $y^{'}$ を求め、 $1 + (y^{'})^{2}$ を計算して $2$ 乗の形を確認する。

根号が外れれば、あとは素直な積分、と見通す。

公式曲線の長さ

L = \int_{a}^{b} 1 + (y^{'})^{2} d x

。懸垂線では

1 + (y^{'})^{2} = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}

① $y^{'}$ を求める。 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ より

$y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$

懸垂線 y=(e^x+e^{−x})/2 の 0≤x≤1 の部分。長さは (e−1/e)/2

② $1 + (y^{'})^{2}$ を計算する。

$1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4} = \frac{4 + ( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4} = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}}{4}$

(展開すると $4 + (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}) = e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} = (e^{x} + e^{- x})^{2}$ 。)

③ 長さを積分する。 根号が外れて $1 + (y^{'})^{2} = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ 。

$L = \int_{0}^{1} \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = [\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e - e ^{- 1}}{2} - 0 = \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})$

まとめ:曲線の長さは「 $\int 1 + (y^{'})^{2} d x$ 」。懸垂線 $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ では $1 + (y^{'})^{2}$ が完全平方になり根号が外れる( $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ )。 $4 + (e^{x} - e^{- x})^{2} = (e^{x} + e^{- x})^{2}$ の変形がカギ。

発展 — 一歩先へ。 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ は双曲線余弦 $cosh x$ 、 $y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ は双曲線正弦 $sinh x$ 。 $1 + sinh^{2} x = cosh^{2} x$ という関係( $cos^{2} + sin^{2} = 1$ の双曲線版)が、根号が外れる正体だ。

おもしろいことに、この曲線では「弧の長さ」と「曲線の下の面積」が等しい。どちらも被積分関数が $cosh x$ になるからだ( $1 + (y^{'})^{2} = y$ )。長さを測っても、面積を測っても、同じ $sinh 1 = \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})$ 。

懸垂線は、両端を持った鎖が自然に垂れる形。物理的にも数学的にも、特別に美しい性質をもった曲線だ。

答

$\frac{e - e ^{- 1}}{2}$ ( $= \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})$ )

別解

別解 — 「長さ $=$ 下の面積」を使う(得意な人向けの視点)。 この懸垂線には、弧長を測る式と、面積を測る式が一致するという際立った性質がある。

弧長の被積分関数は $1 + (y^{'})^{2}$ 。計算すると

$1 + (y^{'})^{2} = 1 + (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2} = y^{2} .$

だから $1 + (y^{'})^{2} = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = y$ そのもの。つまり弧長 $\int_{0}^{1} 1 + (y^{'})^{2} d x$ は、曲線の下の面積 $\int_{0}^{1} y d x$ とまったく同じ式になる。

あとはどちらを計算しても

$\int_{0}^{1} \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = [\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e}) .$

根号を外して長さを求める本解と同じ。「 $1 + (y^{'})^{2}$ が $y$ に等しい」と見抜けば、長さの計算が面積の計算に早変わりする。懸垂線ならではの近道だ。

ポイント

$y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ 、 $1 + (y^{'})^{2} = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}$ 。
$L = \int_{0}^{1} \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})$ 。

よくある間違い

$1 + (y^{'})^{2}$ が完全平方になることに気づかず、根号を残す。
$(e^{x} - e^{- x})^{2} + 4 = (e^{x} + e^{- x})^{2}$ の変形を誤る。
$\int \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ の積分の符号を誤る。