指数関数を極限で作る積分(e への収束)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 被積分関数 ${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n$ は、$n\to \infty$ で各 $x$ について $e^{-x}$ に近づく($e$ の定義の変形)。

積分区間の上端も $n\to \infty$ で $\infty$ に伸びる。だから極限は ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx$ になりそうだ。

極限と積分の交換を正当化するには、${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n\le e^{-x}$(上から押さえる)を使う。極限は ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$。

① 各点での収束。 固定した $x(\ge 0)$ に対し、$0\le x\le n$ なら ${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n\to e^{-x}$($n\to \infty$)。

② 上から押さえる。 $0\le u\le 1$ で $\log (1-u)\le -u$ だから、$0\le x\le n$ で $n\log \left(1-\frac{x}{n}\right)\le -x$、すなわち $$0\le {\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n\le e^{-x}.$$ この上界 $e^{-x}$ は $[0,\infty )$ で積分可能(${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$)。

③ 極限と積分を入れ替える。 押さえがあるので極限を積分の中に入れてよく $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=[-e^{-x}{]}_0^{\infty }=1.$$

まとめ 被積分関数が $e^{-x}$ に近づき、上から $e^{-x}$ で押さえられるので、極限と積分を入れ替えて ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$。$e$ の定義の極限が積分の中で働く、積分・極限の融合。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_0^{n}x{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx\to {\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1!=1$、${\int }_0^{\infty }{x}^k{e}^{-x}dx=k!$(ガンマ関数)。${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n$ という「$e^{-x}$ の近似」を通して、階乗が積分で表せる。指数関数の定義 ${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\to e^x$ が、積分の世界でも主役を演じている。

別解

別解 — 二項定理で開いて項別に積分する(得意な人向けの高い視点)。 極限と積分の交換に頼らず、有限の $n$ で積分を実行してから極限をとる道もある。置換 $t=\frac{x}{n}$($x=nt$)で

$${\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx=n{\int }_0^1(1-t{)}^{n}dt=n\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

(${\int }_0^1(1-t{)}^{n}dt=\frac{1}{n+1}$ は直接計算できる。)

$n\to \infty$ で $\frac{n}{n+1}\to 1$。

$e^{-x}$ への収束や優関数(本解)を経由せず、置換ひとつで積分が $\frac{n}{n+1}$ という初等的な式になり、極限が $1$ とすぐ出る。「先に積分、後で極限」が使えるときは、収束の議論を回避できて安全だ。