回転体の体積(sin)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin$ の山を $x$ 軸まわりに回す — 断面は半径 $\sin x$ の円で

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx$$

${\sin }^2$ の積分は半角の公式で次数を下げる、あの定跡だ。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

積分計算の単元で鍛えた技が、体積という応用の舞台でそのまま部品になる。答えは $\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}$。

① なぜ $y^2$ を積分するのかを確かめる。 立体を $x$ 軸に垂直な平面で輪切りにすると、切り口は半径 $y=\sin x$ の円。面積は $\pi y^2=\pi {\sin }^{2}x$。これを $x=0$ から $x=\pi$ まで積み重ねる。

② ${\sin }^{2}x$ を積分できる形に直す。 ${\sin }^{2}x$ はこのままでは積分できない。半角の公式で次数を下げる。

③ 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{\pi }{2}[x-\frac{\sin 2x}{2}{]}_0^{\pi }$$

$\sin 2\pi =0$、$\sin 0=0$ なので、$\sin 2x$ の部分は消えて $x$ の部分だけが残る。

$$=\frac{\pi }{2}(\pi -0)=\frac{{\pi }^2}{2}$$

まとめ:回転体は断面の円の面積 $\pi y^2$ を積分する。$y=\sin x$ だと $y^2={\sin }^{2}x$ になるので、半角の公式で開いてから積分するのが定石だ。$\cos 2x$ から出る $\sin 2x$ は $0$ と $\pi$ で消え、$\frac{{\pi }^2}{2}$ が残る。根号つきの $\sqrt{\sin x}$ 版（根号が消える）と見比べると、狙いの違いがよく分かる。

発展 — 一歩先へ。 このレモン形(アメリカンフットボール形)の体積 $\frac{{\pi }^2}{2}\approx 4.93$ を、同じ「幅 $\pi$・最大半径 $1$」の球(直径 $\pi$ の球ではなく、内接する半径 $1$ の球 $\frac{4\pi }{3}\approx 4.19$)と比べると、レモンの方が少し大きい — 中央部の膨らみの差だ。立体の直感は、こうした比較でしか磨けない。

${\pi }^2$ という値が出るのも面白い。円周率の $2$ 乗は、球の体積($\pi$ の $1$ 次)には現れない量で、回転体に「波の平均」が絡むと顔を出す — トーラス(ドーナツ)の体積 $2{\pi }^2{a}^{2}b$ も同族である。

別解

${\sin }^2$ の積分を計算せず、平均の高さで一気に読む方法がある。

${\sin }^{2}x$ は $0$ と $1$ の間を対称に波打つ関数で、区間 $[0,\pi ]$ での平均はちょうど $\frac{1}{2}$(${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ が平均を分け合い、和が $1$ だから)。

積分 $=$ 平均 $\times$ 区間の長さ、なので

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\times \pi =\frac{\pi }{2}⟹V=\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}$$

体積の言葉で言い直すと — このレモン形の立体は、「平均断面積 $\pi \cdot \frac{1}{2}$ の円柱を長さ $\pi$ にしたもの」と同じかさを持つ。実際、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$($\approx 0.71$)の円柱と等積だ。

${\sin }^2$・${\cos }^2$ の平均 $\frac{1}{2}$ は、交流の実効値・波のエネルギーなど物理でも頻繁に使う定数。「積分するまでもなく平均で読める」波の量は、この値で即答できる。