tanⁿx の積分漸化式と漸近

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\tan }^{n}x$ の積分は、単独では求まらない。恒等式 ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ で

$${\tan }^{n}x=\frac{{\tan }^{n-2}x}{{\cos }^{2}x}-{\tan }^{n-2}x$$

と分解すると、第1項は ${\left(\frac{{\tan }^{n-1}x}{n-1}\right)}^{\prime }$ そのもの。恒等式が2つ飛びの漸化式を生む。

値は求まらないのに、(2)(3)のように漸近だけは正確に取り出せるのがこの型の醍醐味だ。鍵は「漸化式+単調性ではさむ」ことにある。

① 漸化式((1))。

$$I_n+I_{n-2}={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n-2}x\left({\tan }^{2}x+1\right)dx={\int }_0^{\pi /4}\frac{{\tan }^{n-2}x}{{\cos }^{2}x}dx={\left[\frac{{\tan }^{n-1}x}{n-1}\right]}_0^{\pi /4}=\frac{1}{n-1}$$

($\tan \frac{\pi }{4}=1$、$\tan 0=0$。)

② $I_n\to 0$((2))。 $0<x<\frac{\pi }{4}$ で $0<\tan x<1$ だから $I_n>0$。(1)で $n$ を $n+2$ に替えると $I_{n+2}+I_n=\frac{1}{n+1}$ で、$I_{n+2}>0$ より

$$0<I_n<\frac{1}{n+1}⟶0$$

はさみうちで $I_n\to 0$。

③ $n{I}_n$ のはさみうち((3))。 $0<\tan x<1$ より ${\tan }^{n+2}x<{\tan }^{n}x$ だから $I_{n+2}<I_n$(単調減少)。よって

$$\frac{1}{n+1}=I_{n+2}+I_n<2I_n,2I_n<I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1}$$

すなわち $\frac{n}{2(n+1)}<n{I}_n<\frac{n}{2(n-1)}$。両端とも $\frac{1}{2}$ に収束するから

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{2}$$

まとめ: 「恒等式 → 漸化式 → 単調性ではさむ」の3段。積分の値は1つも求めていないのに、$I_n$ が $\frac{1}{2n}$ の速さで消えることまで分かる — 積分漸化式の型の完成形で、どの関数(${\sin }^n$ でも ${\tan }^n$ でも)でも同じ設計思想が通る。

発展 — 一歩先へ。 漸化式を $I_0=\frac{\pi }{4}$ から逆向きにほどくと、$I_0=1-I_2=1-\frac{1}{3}+I_4=\cdots$ となり、$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ — 円周率のライプニッツ級数が漸化式から転がり出る($I_{2m}\to 0$ が級数の収束を保証)。「積分漸化式は、値の分からない積分と美しい級数をつなぐ橋」の代表例だ。

別解

置換 $t=\tan x$ で有理関数にする((1)(2)が2行になる)。 $t=\tan x$($dt=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$、$dx=\frac{dt}{1+t^2}$)と置換すると

$$I_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt$$

三角関数が消えて、ただの有理関数の積分になる。すると:

(1) $I_n+I_{n-2}={\int }_0^1\frac{t^{n-2}(t^2+1)}{1+t^2}dt={\int }_0^1{t}^{n-2}dt=\frac{1}{n-1}$ — 分母が約分で消える。

(2) $0<\frac{t^n}{1+t^2}<t^n$ から $0<I_n<{\int }_0^1{t}^{n}dt=\frac{1}{n+1}\to 0$ — 一撃。

(3)は本解と同じく、単調性 $I_{n+2}<I_n$ と漸化式で $2I_n$ をはさむ。

三角の恒等式(本解)と置換(本ルート)は同じ内容の2つの言語だが、有理関数の顔になると「なぜ $\frac{1}{n-1}$ なのか」($t^{n-2}$ の積分だから)が一目になる。$\tan$ の積分漸化式は $t=\tan x$ で書き直すと見通しが晴れる — 覚えておきたい翻訳だ。