回転体の体積(2曲線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 曲線で挟まれた領域の回転体 — できる立体は中空(外側の立体から内側がくり抜かれた形)だ。

体積は「外の回転体 $-$ 内の回転体」。区間 $0\leqq x\leqq 1$ では $x\geqq x^2$(外が $y=x$)なので

$$V=\pi {\int }_0^1\left\{x^2-(x^2{)}^2\right\}dx=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$$

注意はひとつ — $2$ 乗してから引く($\pi \int ({\text{外}}^2-{\text{内}}^2)$)。「差の $2$ 乗」$\pi \int (x-x^2{)}^2$ とは別物である。

① 上下(外内)を確かめる。 $0<x<1$ で $x>x^2$。回転すると $y=x$ が外側、$y=x^2$ が内側の中空の立体。

② 「外² − 内²」を積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1\{x^2-(x^2{)}^2\}dx=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$$

③ 計算する。

$$=\pi [\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}{]}_0^1=\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\pi \cdot \frac{2}{15}=\frac{2\pi }{15}$$

まとめ:$2$ 曲線で囲む部分の回転体は「外の $y^2$ − 内の $y^2$」を積分(ドーナツ型の断面)。面積の「上 − 下」とちがい、体積は「外² − 内²」と $2$ 乗どうしの差になる。$\frac{2\pi }{15}$。

発展 — 一歩先へ。 なぜ「差の $2$ 乗」ではだめなのか — 断面の絵で一目だ。位置 $x$ の断面は、半径 $x$ の円から半径 $x^2$ の円をくり抜いたドーナツ(円環)で、面積は $\pi x^2-\pi (x^2{)}^2$。$(x-x^2{)}^2$ は「半径が差の円」の面積で、円環とは別の図形である。式の暗記でなく断面の絵で立式すれば、この混同は起きない。

同じ領域を $y$ 軸まわりに回すと、外内が入れ替わって($x=\sqrt{y}$ が外、$x=y$ が内)$V=\pi {\int }_0^1(y-y^2)dy=\frac{\pi }{6}$ — 回転軸が変わると体積も変わる。軸の指定を最初に確認する習慣はここから生まれる。

別解

外側の積分 $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx$ には、小学校以来の顔なじみが隠れている。

$y=x$($0\leqq x\leqq 1$)を $x$ 軸まわりに回すと — 底面の半径 $1$、高さ $1$ の円錐だ。体積は公式で

$$V_{\text{外}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}$$

一方、積分では $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi \cdot \frac{1}{3}$ — 完全に一致する。「円錐の $\frac{1}{3}$」という、昔は天下りだった公式が、$\int x^2=\frac{x^3}{3}$ の $\frac{1}{3}$ だったと分かる瞬間だ。

内側($y=x^2$ の回転体)は $\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{\pi }{5}$。差をとって

$$V=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{5}=\frac{5\pi -3\pi }{15}=\frac{2\pi }{15}$$

外側を既知の立体(円錐・円柱・球)で置き換えられるときは、積分せず公式で書いてよい — 検算にもなり、答えの大きさの感覚($\frac{2\pi }{15}$ は円錐の $\frac{2}{5}$)もつかめる。