2曲線間の面積(三角関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 区間の端 $\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5\pi }{4}$ は、$\sin x=\cos x$ となる交点そのもの。その間では $\sin x\geqq \cos x$($x=\frac{\pi }{2}$ で $1>0$ と確認)だから

$$S={\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}(\sin x-\cos x)dx$$

原始関数は $-\cos x-\sin x$。両端は $\cos ,\sin$ が $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ になる角なので、値は $\sqrt{2}$ がらみになる — 丁寧に代入して $2\sqrt{2}$。

① 交点と上下を確かめる。 $\sin x=\cos x$ より $\tan x=1$、$x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$。この区間で $\sin x\geqq \cos x$($y=\sin x$ が上)。

② 「上 − 下」を積分する。 $\int (\sin x-\cos x)dx=-\cos x-\sin x$。

$$\text{面積}={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}(\sin x-\cos x)dx=[-\cos x-\sin x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}$$

③ 代入する。 $\frac{5\pi }{4}$ で $\cos =\sin =-\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\frac{\pi }{4}$ で $\cos =\sin =\frac{1}{\sqrt{2}}$。

$$=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})-(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$

まとめ:$\sin x$ と $\cos x$ の面積は、交点 $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ で区間を決め、「上($\sin$)− 下($\cos$)」を積分。$\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ の有理化まで。

発展 — 一歩先へ。 $\sin$ と $\cos$ の交点は $\pi$ ごとに並ぶから、囲まれる「レンズ」は同じ形で無限に連なり、どれも面積 $2\sqrt{2}$。$1$ つ計算すれば全部分かる — 周期関数の囲みは「$1$ 周期分だけ調べる」が鉄則だ。

半波の面積 ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ は「$\sin$ の山 $1$ つ $=$ 面積 $2$」として暗記に値する基本量。今回のように合成・置換で「見慣れた山」に帰着させれば、三角関数の面積の多くはこの $2$ の定数倍で読める。

別解

被積分関数を合成してから積分すると、この問題の風景が一変する。

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$$

積分区間 $\frac{\pi }{4}\leqq x\leqq \frac{5\pi }{4}$ を新しい角 $u=x-\frac{\pi }{4}$ で読むと、$0\leqq u\leqq \pi$ — $\sin$ のちょうど半波 $1$ 山分だ。

$\sin$ の $1$ 山の面積は基本の計算で ${\int }_0^{\pi }\sin udu=2$。よって

$$S=\sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2}$$

代入計算がほぼ消えた。

種明かしをすれば、$2$ 曲線 $\sin$ と $\cos$ の差は「振幅 $\sqrt{2}$ の $1$ 本の波」であり、交点から交点まではその波の $1$ 山 — 囲まれた領域は、見かけは複雑でも正体はサインカーブ $1$ 山を $\sqrt{2}$ 倍に伸ばしたものだった。三角関数の差・和を見たら合成、は方程式だけでなく積分でも第一級の整理術である。