面積(1/x と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず符号を確認する。

$$\frac{1}{x}>0(1\leqq x\leqq e\text{ では})$$

曲線は $x$ 軸より上。だから面積 $=$ 定積分だ。

$$S={\int }_1^e\frac{1}{x}dx$$

原始関数は $\log |x|$。 積分区間は正なので、絶対値は外してよい。

$$S={\left[\log x\right]}_1^e=\log e-\log 1=1-0=1$$

面積は、ぴったり $1$。

なんとも気持ちのいい答えだ。

$1$ から $e$ という、一見中途半端な区間で、なぜ面積がきれいな $1$ になるのか。

逆なのだ。 「双曲線の下の面積が $1$ になる点」として、$e$ が定められている。

$e=2.71828\dots$ という数の正体が、この面積なのである。

$1\leqq x\leqq e$ で $\frac{1}{x}>0$。

$$\text{面積}={\int }_1^e\frac{1}{x}dx=[\log x{]}_1^e=\log e-\log 1=1-0=1$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ と $x$ 軸が $[1,e]$ で囲む面積はちょうど $1$。$\frac{1}{x}$ の積分は $\log$、$\log e=1$ を使う。$e$ という数の定義(${\int }_1^e\frac{1}{x}=1$)そのものだ。

発展 — 一歩先へ。 「区間を $2$ 倍にしても面積が同じ」という性質を、無限に続けてみよう。

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}={\int }_2^4\frac{dx}{x}={\int }_4^8\frac{dx}{x}=\cdots =\log 2$$

面積 $\log 2\approx 0.693$ の区画が、無限に続く。

全部足すと?

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\log 2+\log 2+\log 2+\cdots =\infty$$

発散する。

「同じ面積が無限に続くのだから、当然」だ。

この事実は、調和級数の発散と、まったく同じ構造をしている。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots =\infty$$

証明を思い出そう。 項をグループ分けして、各グループが $\frac{1}{2}$ より大きいことを示した。

$$\underset{>1/2}{\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}+\underset{>1/2}{\underbrace{\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}}}+\cdots$$

「一定量の塊が、無限に続く」 — 積分の話と、そっくりだ。

これは偶然ではない。

積分判定法という定理がある。

「$f$ が正で減少なら、$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ と ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ は、同時に収束し、同時に発散する。」

級数と積分の運命が、一致するのだ。

なぜか。

級数は「幅 $1$ の長方形の和」、積分は「曲線の下の面積」。

関数が減少なら、この $2$ つは互いに挟み込む。

$${\int }_1^{N+1}f(x)dx\leqq \sum _{n=1}^{N}f(n)\leqq f(1)+{\int }_1^{N}f(x)dx$$

上下から挟まれているので、片方が発散すればもう片方も発散する。

この定理で、いろいろな級数の収束が判定できる。

$$\sum \frac{1}{n^2}⟷{\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=1(\text{収束})$$

$$\sum \frac{1}{n}⟷{\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\infty (\text{発散})$$

$$\sum \frac{1}{n\log n}⟷{\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x\log x}=\infty (\text{発散!})$$

$3$ つ目は、驚きだ。 $\frac{1}{n\log n}$ は $\frac{1}{n}$ よりずっと小さいのに、それでも発散する。

($\log$ の増え方が、あまりに遅いからだ。)

発散と収束の境界線は、想像以上に微妙な場所にある。

そして、その微妙さを判定する道具が — 積分なのだ。

離散の世界(級数)の問題を、連続の世界(積分)に翻訳して解く。

${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1$ という素朴な面積計算が、無限級数の深淵につながっている。

別解

この双曲線の面積には、驚くべき性質がある。

「区間を $e$ 倍に引き伸ばしても、面積は変わらない。」

確かめよう。

$${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\log e-\log 1=1$$

では、区間を $[e,e^2]$ にすると?

$${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}dx=\log e^2-\log e=2-1=1$$

同じ $1$!

$[e^2,e^3]$ なら?

$$\log e^3-\log e^2=3-2=1$$

やはり $1$。

区間はどんどん長くなっているのに($[1,2.72]$、$[2.72,7.39]$、$[7.39,20.1]$)、面積は変わらない。

なぜか。

区間が長くなるぶん、曲線の高さ($\frac{1}{x}$)が低くなる。 その $2$ つが、ぴったり打ち消し合うのだ。

もっと一般に言える。

$${\int }_a^{ka}\frac{1}{x}dx=\log (ka)-\log a=\log k$$

面積は、$a$ に一切よらない。$k$(倍率)だけで決まる。

具体例で確かめよう。

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}=\log 2\approx 0.693$$

$${\int }_3^6\frac{dx}{x}=\log 2\approx 0.693$$

$${\int }_{100}^{200}\frac{dx}{x}=\log 2\approx 0.693$$

$3$ つとも、まったく同じ面積。

区間が $[100,200]$ と巨大でも、$[1,2]$ と同じ面積しかない。

「$2$ 倍に伸ばす」という操作が同じなら、面積も同じ。

この性質を、スケール不変性という。

そして、これが「掛け算 → 足し算」の変換を生む。

$${\int }_1^{ab}\frac{dx}{x}={\int }_1^a\frac{dx}{x}+{\int }_a^{ab}\frac{dx}{x}=\log a+\log b$$

$$\log (ab)=\log a+\log b$$

対数の最重要性質が、面積の分割から出てきた。

この視点で、対数目盛りの意味も分かる。

対数グラフでは、$1$ から $10$ までの距離と、$10$ から $100$ までの距離が等しい。

どちらも「$10$ 倍」だから、$\log 10$ という同じ距離になる。

地震のマグニチュード、音のデシベル、pH、星の等級 — どれも対数目盛りだ。

「$1000$ 倍のエネルギー」を「$3$ 段階の差」として表せるから、扱いやすい。

${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1$ という、たった $1$ 行の面積計算。

その裏に、掛け算の世界を足し算の世界へ翻訳する、対数の本質がある。