断面積による体積(非回転体)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体でなくても、体積は「断面積を積み上げる」$V=\int S(x)dx$ で求まる。

ここでの断面は正方形なので、その $1$ 辺の長さが分かれば断面積が出る。

$1$ 辺は、底面の円 $x^2+y^2\le 1$ を $x=$ 一定で切ったときの弦の長さ $2\sqrt{1-x^2}$($y$ が $\pm \sqrt{1-x^2}$ の幅)。

これを $2$ 乗して断面積とし、$x$ について積分する、と見通す。

① 断面の $1$ 辺。 底面の円を $x=$ 一定で切ると、$y$ は $-\sqrt{1-x^2}$ から $\sqrt{1-x^2}$ まで、幅 $2\sqrt{1-x^2}$。断面は正方形だから $1$ 辺がこの長さ。

② 断面積。

$$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$$

③ 体積を積分する。 $x$ は $-1$ から $1$ まで。

$$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\left\{\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)\right\}=4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3}$$

まとめ:非回転体でも「断面積を積み上げる」$V=\int S(x)dx$。断面が正方形なら $1$ 辺(=底面の弦 $2\sqrt{1-x^2}$)を $2$ 乗して断面積 $4(1-x^2)$。回転体は断面が円($\pi y^2$)だが、断面の形が何であれ同じ考え方。

発展 — 一歩先へ。 「断面積を積み上げる」考えは、断面がどんな形でも通用する。断面が円なら回転体($\pi y^2$)、正方形なら $1$ 辺の $2$ 乗、正三角形なら $\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{辺}{)}^2$、と面積の式を差し替えるだけ。

じつは同じ底面(単位円)で断面を円にすると、それは半径 $1$ の球で、体積は $\frac{4\pi }{3}$。今回の正方形断面は面積が円断面の $\frac{4}{\pi }$ 倍なので、体積も $\frac{4}{\pi }\times \frac{4\pi }{3}=\frac{16}{3}$ と、球からすぐ出せる。

「どの高さでも断面積が等しければ体積も等しい」というカヴァリエリの原理が、この背景にある。体積は、断面積の積み重ねで決まる。

別解

別解 — 単位球と比べて出す(得意な人向けの視点)。 同じ底面(単位円)で断面を円にすると半径 $1$ の球になる。その球と断面積を比べれば、積分せずに体積が出る。

底面の円を $x=$ 一定で切った弦の長さは $2\sqrt{1-x^2}$。

• 断面が正方形なら面積 ${\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$。
• 断面が円(直径がこの弦)なら面積 $\pi {\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^2=\pi (1-x^2)$。これを積み上げた立体は半径 $1$ の球で、体積 $\frac{4\pi }{3}$。

どの $x$ でも、正方形断面は円断面のちょうど $\frac{4}{\pi }$ 倍。だから体積も $\frac{4}{\pi }$ 倍。

$$V=\frac{4}{\pi }\times \frac{4\pi }{3}=\frac{16}{3}.$$

${\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx$ を計算する本解と同じ。「断面積が各高さで一定の比なら、体積も同じ比」というカヴァリエリの原理を使うと、既知の球の体積に乗せて一気に求まる。