平方根の逆数の和の漸近(積分ではさむ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ の大きさを、積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$ で見積もる。

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ は減少関数だから、幅 $1$ の短冊(和)は、対応する積分で上下からはさめる。具体的には $2\sqrt{n+1}-2\le S_n\le 2\sqrt{n}-1$。

両端を $\sqrt{n}$ で割ると、どちらも $2$ に近づく。はさみうちで $\frac{S_n}{\sqrt{n}}\to 2$。「和を積分ではさむ」定石だ。

① 積分ではさむ。 減少性から、各 $k$ で ${\int }_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\le \frac{1}{\sqrt{k}}\le {\int }_{k-1}^k\frac{dx}{\sqrt{x}}$。$k=1$ から $n$ まで足すと $${\int }_1^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\le S_n\le 1+{\int }_1^n\frac{dx}{\sqrt{x}}.$$ (右辺は $k=1$ の項 $\frac{1}{\sqrt{1}}=1$ を別扱いした。) ② 積分を計算する。 ${\int }_1^m\frac{dx}{\sqrt{x}}=[2\sqrt{x}{]}_1^m=2\sqrt{m}-2$。よって $$2\sqrt{n+1}-2\le S_n\le 2\sqrt{n}-1.$$ ③ $\sqrt{n}$ で割って極限。 $$\frac{2\sqrt{n+1}-2}{\sqrt{n}}\le \frac{S_n}{\sqrt{n}}\le \frac{2\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}.$$ 左端 $=2\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{2}{\sqrt{n}}\to 2$、右端 $=2-\frac{1}{\sqrt{n}}\to 2$。はさみうちで $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{\sqrt{n}}=2.$$

まとめ 和の漸近は、単調な被加数を積分で上下からはさむ。$\frac{1}{\sqrt{x}}$ の積分 $2\sqrt{x}$ で $S_n\approx 2\sqrt{n}$、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}\to 2$。数列の和と積分の比較・極限の融合。

発展 — 一歩先へ。 より精密には $S_n=2\sqrt{n}+\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+o(1)$ で、定数 $\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\approx -1.4604$(リーマンゼータ関数の値)が現れる。$\frac{1}{\sqrt{k}}=k^{-1/2}$ の和が発散する($p=\frac{1}{2}\le 1$)速さは $\sqrt{n}$ で、その先の定数項にゼータ関数が顔を出す。積分による評価は、この漸近の主要項をつかむ第一歩だ。

別解

別解 — 差 $\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$ と比べる(苦手な人向け)。 $\frac{1}{\sqrt{k}}$ を、扱いやすい差 $2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ とくらべる。分母を有理化すると

$$2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}.$$

分母 $\sqrt{k}+\sqrt{k-1}$ は $2\sqrt{k}$ より少し小さいから、$2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})>\frac{2}{2\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}}$。同様に $\frac{1}{\sqrt{k}}>2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$。

$k=1$ から $n$ まで足すと、右辺は望遠鏡で $2\sqrt{n}-2$ や $2\sqrt{n+1}-2$ に畳まれる。はさむと

$$2\sqrt{n+1}-2<S_n<2\sqrt{n}-1.$$

$\sqrt{n}$ で割れば両端 $\to 2$、極限は $2$。積分ではさむ(本解)のと同じことを、差の望遠鏡でやっている。$\frac{1}{\sqrt{k}}\approx 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ という近似が、$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$ の離散版だ。