球の体積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 半円 $y=\sqrt{1-x^2}$ を $x$ 軸まわりに回すと、半径 $1$ の球ができる。

回転体の体積は $V=\pi {\int }_{-1}^1{y}^{2}dx$。$y=\sqrt{1-x^2}$ を $2$ 乗すると $y^2=1-x^2$ で、根号が消える。

被積分関数は偶関数なので、$2{\int }_0^1$ に直すと計算が軽い。

球の体積 $\frac{4}{3}\pi$ を、暗記でなく回転体の積分から自分で導く。その由来を体感する発想だ。

① $y^2$ を求める。 $y=\sqrt{1-x^2}$ なので $y^2=1-x^2$。

② 積分する。 偶関数なので $2{\int }_0^1$。

$$V=\pi {\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=2\pi {\int }_0^1(1-x^2)dx=2\pi [x-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=2\pi (1-\frac{1}{3})=2\pi \cdot \frac{2}{3}=\frac{4\pi }{3}$$

まとめ:半円を $x$ 軸回転すると球ができる。$y^2=1-x^2$ で根号が消え、${\int }_{-1}^1(1-x^2)$ を偶関数の対称性で計算。半径 $1$ の球の体積 $\frac{4\pi }{3}$。一般には $\frac{4}{3}\pi r^3$ で、この積分がその公式の証明になっている。

発展 — 一歩先へ。 半径 $r$ の球の体積は $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。この式を $r$ で微分すると $\frac{dV}{dr}=4\pi r^2$ で、これはちょうど球の表面積だ。偶然ではない。

球を、薄い球殻(たまねぎの皮)を重ねたものと見る。半径を $r$ から $r+dr$ へわずかに増やすと、増える体積は「表面積 $\times$ 厚み」$=4\pi r^{2}dr$。だから体積を半径で微分すると表面積に戻る。

同じ関係は円でも成り立つ。面積 $\pi r^2$ を $r$ で微分すると円周 $2\pi r$。図形に「外側から薄皮を足していく」と見ると、体積・面積と、表面積・周の長さが、微分でつながって見えてくる。

別解

別解 — 円柱から円錐を引く(得意な人向けの視点、アルキメデス)。 積分せずに、断面積の一致から球の体積を出す。半球を「円柱から円錐を抜いた立体」とくらべる方法だ。

まず半球(球の $x\ge 0$ の側)を、$x$ 軸に垂直な平面で切る。位置 $x$ での切り口は半径 $\sqrt{1-x^2}$ の円で、面積は $\pi (1-x^2)$。

次に、半径 $1$・長さ $1$ の円柱から、$x=0$ を頂点として $x=1$ で半径 $1$ に開く円錐をくり抜いた立体を考える。位置 $x$ での切り口は、外側の円 $\pi \cdot 1^2$ から内側の円 $\pi x^2$ を除いた $\pi (1-x^2)$。

どの $x$ でも切り口の面積が一致する。カヴァリエリの原理より、$2$ つの立体の体積は等しい。

$$V_{\text{半球}}=\pi \cdot 1^2\cdot 1-\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 1=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3},V_{\text{球}}=2\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}.$$

$\pi {\int }_{-1}^1(1-x^2)dx$ を積分する本解と同じ。被積分関数の $1-x^2$ が、そのまま「円柱の断面 $-$ 円錐の断面」に対応していたわけだ。