面積(1/x²)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{x^2}>0$ だから、面積はそのまま定積分だ。

$$S={\int }_1^2\frac{dx}{x^2}={\int }_1^2{x}^{-2}dx$$

負のべきも累乗の公式($+1$ して割る)がそのまま使える: 原始関数は $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$。

$$S={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^2=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$$

$\frac{1}{x}$(積分すると $\log$)と $\frac{1}{x^2}$(累乗の公式)の区別だけ意識しておく。

$\frac{1}{x^2}>0$ なので面積はそのまま定積分。

$$\text{面積}={\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx=[-\frac{1}{x}{]}_1^2=-\frac{1}{2}-(-1)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$$

まとめ:$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ の積分は $-\frac{1}{x}$。面積 $\frac{1}{2}$。符号の処理($-\frac{1}{2}+1$)を丁寧に。$\frac{1}{x}$ の積分($\log$)とちがい、$\frac{1}{x^2}$ は累乗の公式で積分できる。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{x^2}$ の無限区間の面積が $1$(有限)なのに対し、$\frac{1}{x}$ は $\log$ で発散 — 減り方のわずかな差($2$ 乗か $1$ 乗か)が、無限の世界では有限と無限を分ける。この対比は級数($\sum \frac{1}{n^2}$ 収束・$\sum \frac{1}{n}$ 発散)とぴったり対応していて、積分と級数の収束判定が同じ原理(積分判定法・大学)で結ばれている。

$\frac{1}{x^2}$ 型の量は重力・クーロン力(逆 $2$ 乗則)として物理の主役。 「無限遠までの仕事が有限」= 脱出速度が存在する、という宇宙の事実も、いま計算した ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=1$ の物理版である。

別解

答え $\frac{1}{2}$ の妥当性を、長方形で挟んで確かめてみる — 計算に頼らない面積の見積もり術だ。

区間 $[1,2]$(幅 $1$)で、$\frac{1}{x^2}$ は減少関数。高さは左端で $1$、右端で $\frac{1}{4}$。

• 内側の長方形(高さ $\frac{1}{4}$): 面積 $\frac{1}{4}$
• 外側の長方形(高さ $1$): 面積 $1$

$$\frac{1}{4}<S<1$$

答え $\frac{1}{2}$ はきちんとこの間にいる(もし $\log 2\approx 0.69$ や $2$ が出たら、この検分がおかしさを教えてくれる)。

さらに、この曲線には驚くべき事実がある。区間を $[1,\infty )$ に広げても

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=\underset{b\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$$

無限に長い領域なのに面積は有限の $1$。今回の $\frac{1}{2}$ は、その全体 $1$ のうち「$x=2$ までで半分を稼いだ」ことを意味している — 残り半分は $2$ から無限までの薄い尻尾に散らばっている。