面積(cos と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 いつもの手順だ。まず符号。

$$\cos x\geqq 0\left(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$

この区間では、$\cos$ は $1$ から $0$ へ減っていくが、負にはならない。

曲線は $x$ 軸の上。だから面積 $=$ 定積分。

$$S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{\pi /2}=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1-0=1$$

面積は、ぴったり $1$。

$\cos$ の原始関数は $\sin$(マイナスなし)。 $\sin$ の積分($-\cos$)と、混同しないこと。

答えの $1$ という値も、味わい深い。

幅 $\frac{\pi }{2}\approx 1.57$、高さ最大 $1$ の領域で、面積がちょうど $1$。

弧度法で測っているからこそ、こんなにきれいな数になる。

$$\text{面積}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1-0=1$$

まとめ:$\cos x$ と $x$ 軸が $[0,\frac{\pi }{2}]$ で囲む面積は $1$。$\cos x$ の積分は $\sin x$(マイナスなし)。$\sin \frac{\pi }{2}=1$ を使う。$\sin$ の面積($[0,\pi ]$ で $2$)の半分だ。

発展 — 一歩先へ。 積分に潜む対称性を、もう少し系統的に見てみよう。

道具は $2$ つある。

① 偶関数・奇関数の対称性。

$$f(-x)=f(x)(\text{偶関数})⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$

$$f(-x)=-f(x)(\text{奇関数})⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

奇関数の積分は、計算せずに $0$。 これほど強力な省力化はない。

例: ${\int }_{-1}^1\left(x^3+x^5+\sin x\right)dx=0$

すべて奇関数だから、瞬時に $0$。 $1$ 行も計算していない。

② 区間の対称性(キング・プロパティ)。

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$$

「区間を裏返しても、面積は変わらない」

この式が、驚くほど強力だ。

問題: ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ を求めよ。

まともに積分しようとすると、地獄を見る。

キング・プロパティを使う。 $a=0$、$b=\frac{\pi }{2}$ なので、$x$ を $\frac{\pi }{2}-x$ に置き換える。

$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$$

分子が、$\sin$ から $\cos$ に化けた!

もとの $I$ と、この新しい表現を足す。

$$2I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$$

$$I=\frac{\pi }{4}$$

積分せずに、答えが出た。

分母が丸ごと約分される瞬間が、この技法のクライマックスだ。

「同じ積分を、別の顔で書き直して、足し合わせる」

この発想は、ガウスが $1$ から $100$ を足したときの「逆順に並べて足す」と、まったく同じ構造をしている。

$$S=1+2+\cdots +100$$ $$S=100+99+\cdots +1$$ $$2S=101\times 100$$

離散(数列)でも、連続(積分)でも、

「対称性を使って、自分自身と足し合わせる」

という同じ手が効く。

美しい数学には、共通の骨格がある。

別解

$\sin$ の面積との関係から、計算せずに答えを言い当てる。

前に、$\sin$ の面積を計算した。

$${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /2}=0+1=1$$

同じ $1$ だ!

偶然だろうか。

偶然ではない。$\sin$ と $\cos$ は、$\frac{\pi }{2}$ だけずれた同じ波だからだ。

$$\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$$

区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ で、この $2$ つのグラフを見比べてみよう。

• $\sin$: $0$ から $1$ へ、増加していく
• $\cos$: $1$ から $0$ へ、減少していく

$2$ つは、$x=\frac{\pi }{4}$ を軸に、左右を裏返した関係にある。

鏡に映しただけなので、面積は変わらない。

$${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx={\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$$

片方を計算すれば、もう片方はタダで手に入る。

この「対称性で計算を省く」という発想は、応用範囲が広い。

例: ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$ を求めよ。

半角の公式を使ってもいいが、対称性なら一瞬だ。

同じ理由で

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx$$

そして、この $2$ つを足すと

$${\int }_0^{\pi /2}\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$$

(${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使った。)

$2$ つが等しく、和が $\frac{\pi }{2}$ なのだから

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{4}$$

計算らしい計算を、$1$ 度もしていない。

「対称性 $+$ 全体の値」から、個々の値が決まる。

この技法は、大学入試の頻出パターンだ。

もう $1$ つ、$\cos$ の面積 $1$ から見える景色。

単位円の四分円の弧の長さは $\frac{\pi }{2}$、面積は $\frac{\pi }{4}$。

一方、$\cos$ の曲線の下の面積は $1$ — $\pi$ が出てこない。

同じ「四分の一」でも、円と正弦曲線では、まったく違う数が出る。

$\cos$ のグラフは円ではない。 「単位円の $x$ 座標を、角度に対してプロットしたもの」だ。

この区別を、はっきり意識しておきたい。 グラフの下の面積($1$)と、円の面積($\frac{\pi }{4}$)は、別のものを測っている。