面積(sin と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず、符号の確認から。

$$\sin x\geqq 0(0\leqq x\leqq \pi )$$

この区間では、$\sin$ の値は $0$ 以上。 グラフは $x$ 軸の上にある(山の形)。

だから、面積 $=$ 定積分だ。

$$S={\int }_0^{\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi }=-(-1)-(-1)=2$$

面積は $2$。

もし区間が $0$ から $2\pi$ だったら、話は変わる。

$\pi$ から $2\pi$ では $\sin x<0$ — 曲線が $x$ 軸の下に潜る。

その部分の定積分は負になり、そのままでは面積にならない。

「まず符号、それから積分」 — この順序を、絶対に飛ばさないこと。

符号が変わる点(この場合 $x=\pi$)で、区間を切り分ける必要がある。

$$\text{面積}={\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=-\cos \pi +\cos 0=1+1=2$$

まとめ:$\sin x$ の $1$ 山($[0,\pi ]$)と $x$ 軸が囲む面積は $2$。有名な値。$-\cos \pi =+1$、$+\cos 0=+1$ の符号処理に注意する。

発展 — 一歩先へ。 「符号が変わる区間では、絶対値をつける」

この操作の意味を、物理で確かめよう。

速度 $v$ が、時刻とともに正負に変わる運動を考える。

$$v(t)=\sin t(0\leqq t\leqq 2\pi )$$

前半($0\sim \pi$)は正の向き、後半($\pi \sim 2\pi$)は負の向きに動く。

変位(位置の変化)は、速度の定積分だ。

$$\text{変位}={\int }_0^{2\pi }\sin tdt={\left[-\cos t\right]}_0^{2\pi }=-1+1=0$$

変位はゼロ。 出発点に戻ってきた。

だが、「まったく動かなかった」わけではない。

実際に動いた距離(道のり)は、速さ($=$ 速度の絶対値)の積分だ。

$$\text{道のり}={\int }_0^{2\pi }|\sin t|dt={\int }_0^{\pi }\sin tdt+{\int }_{\pi }^{2\pi }(-\sin t)dt=2+2=4$$

道のりは $4$。

「$2$ だけ進んで、$2$ だけ戻った」 — 合計 $4$ 動いたが、位置は元通り。

$$\boxed{\text{変位}=\int vdt,\text{道のり}=\int |v|dt}$$

この $2$ つを混同すると、必ず間違える。

日常でも、同じ区別がある。

家から駅まで往復した。

• 変位: $0$ km(家に戻ったから)
• 道のり: $2$ km(往復したから)

タクシーの料金は、道のりで決まる。 変位で決まったら、往復は無料になってしまう。

問題文を読むときの鉄則。

• 「変位は?」「位置の変化は?」 → 符号つきで積分
• 「道のりは?」「動いた距離は?」 → 絶対値をつけて積分
• 「面積は?」 → 絶対値(符号を反転させて足す)

そして、絶対値つきの積分を計算するときは、$3$ ステップだ。

① 符号が変わる点を見つける($\sin t=0$ となる $t=\pi$)

② 区間を、その点で分割する

③ 負の区間では、符号を反転させて積分する

この $3$ ステップを踏めば、絶対値は怖くない。

「符号を確認する」という、$5$ 秒の手間。

それを惜しむと、答えが半分になったり、$0$ になったりする。

別解

答えの $2$ が「妥当な大きさか」を、図形で挟み込んで確かめる。

計算ミスを見抜くには、答えの大きさを見積もる目が要る。

上から押さえる。

$\sin$ の山は、幅 $\pi$、高さ $1$ の長方形にすっぽり収まる。

$$S<\pi \times 1\approx 3.14$$

下から押さえる。

山の中に、底辺 $\pi$、高さ $1$ の三角形が収まる(頂点を結んだ形)。

$$S>\frac{1}{2}\times \pi \times 1\approx 1.57$$

挟み込むと

$$1.57<S<3.14$$

答えの $2$ は、この範囲にきちんと入っている ✓

「大きすぎず、小さすぎず」 — 妥当な値だ。

もう少し踏み込んで、「平均の高さ」を出してみよう。

$$\text{平均の高さ}=\frac{\text{面積}}{\text{幅}}=\frac{2}{\pi }\approx 0.6366$$

$\sin$ の山の平均高さは、約 $0.64$。

最大値 $1$ の、およそ $64\%$。

これは、三角形の場合の平均($0.5$)より高い。

なぜか。 $\sin$ の山は、頂上付近が平らで、高いところに長く留まっているからだ。

面積 $2$ という値は、この「ふっくらした山の形」を反映している。

そして、対称性を使えば計算が半分で済む。

$\sin$ の山は、$x=\frac{\pi }{2}$ を軸に左右対称だ。

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=2{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /2}=2(0+1)=2✓$$

半分だけ計算して、$2$ 倍する。 符号のミスも減る。

この「対称性を使う」という発想は、$\sin$ の山に限らない。

偶関数なら ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

奇関数なら ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$(計算不要!)

対称性は、計算量を半分に、あるいはゼロにする。

積分を見たら、まず「対称性はないか」を疑う。

この習慣が、時間と正確さの両方を稼いでくれる。