回転体の体積(放物線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体の公式に、そのまま入れる。

$$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$$

ここで、うれしいことが起こる。

$$y=\sqrt{x}⟹y^2={\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$$

根号が、消えた!

回転体の公式は $y$ ではなく $y^2$ を使う。 だから、$y$ に根号があっても、$2$ 乗すればきれいに外れる。

$$V=\pi {\int }_0^{1}xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}$$

根号を含む関数と、回転体の相性はとてもよい。

面積($\int ydx$)なら、$\sqrt{x}$ をそのまま積分する必要があり、指数の計算が要る。

だが体積($\int y^{2}dx$)なら、$2$ 乗で根号が消えて、ただの $1$ 次関数になる。

「体積のほうが計算が楽」という、珍しいケースだ。

① $y^2$ を求める。 $y=\sqrt{x}$ なので $y^2=x$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{1}xdx=\pi [\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{\pi }{2}$$

まとめ:回転体は $y^2$ を積分するので、$y=\sqrt{x}$ のような根号が $y^2=x$ できれいに消える。これが回転体の計算のうれしいところ。$V=\frac{\pi }{2}$。

発展 — 一歩先へ。 回転体の体積は、$x$ 軸まわりだけではない。$y$ 軸まわりに回すこともできる。

同じ領域($y=\sqrt{x}$、$x$ 軸、$x=1$ で囲まれた部分)を、$y$ 軸のまわりに回してみよう。

$y$ 軸まわりなら、公式はこうなる。

$$V=\pi {\int }_c^d{x}^{2}dy$$

役割が入れかわる。 $y$ で積分し、$x$ を $2$ 乗する。

$y=\sqrt{x}$ を $x$ について解くと $x=y^2$。

だが、注意が要る。 回転させる領域は「曲線の下」なので、$y$ 軸まわりに回すと中空になる。

外側の円柱(半径 $1$)から、内側($x=y^2$ の左側)をくり抜く形だ。

$$V=\underset{\text{円柱}}{\underbrace{\pi \times 1^2\times 1}}-\underset{\text{くり抜く部分}}{\underbrace{\pi {\int }_0^1{\left(y^2\right)}^{2}dy}}=\pi -\pi {\int }_0^1{y}^{4}dy=\pi -\frac{\pi }{5}=\frac{4\pi }{5}$$

$x$ 軸まわりが $\frac{\pi }{2}$、$y$ 軸まわりが $\frac{4\pi }{5}$。

同じ領域なのに、回す軸が違うと、体積はまったく違う。

当然だ。 遠くの軸のまわりに回すほど、大きく振り回されて、体積は大きくなる。

この「軸によって体積が変わる」という事実は、パップス・ギュルダンの定理で、鮮やかに定量化される。

$$\boxed{V=2\pi \bar{r}\times S}$$

• $S$: 回転させる図形の面積
• $\bar{r}$: 図形の重心から、回転軸までの距離

「重心が動いた距離($2\pi \bar{r}$)$\times$ 面積」が体積になる。

確かめてみよう。 この領域の面積は

$$S={\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$$

重心の $y$ 座標を計算すると、$\bar{y}=\frac{3}{8}$ になる。

$x$ 軸まわりの体積は

$$V=2\pi \times \frac{3}{8}\times \frac{2}{3}=\frac{\pi }{2}✓$$

公式と一致した!

この定理の威力は、トーラス(ドーナツ)で発揮される。

半径 $a$ の円を、距離 $b$($>a$)離れた軸のまわりに回すと

$$V=2\pi b\times \pi a^2=2{\pi }^2{a}^{2}b$$

積分を $1$ 度もせずに、ドーナツの体積が出た。

($\pi$ が $2$ 乗で現れるのが、なんとも不思議だ。)

「重心が描く円周 $\times$ 面積」

この直感的な公式が、$3$ 世紀のパップスによって発見され、$17$ 世紀にギュルダンが再発見した。

回転体を、「面積が動いた軌跡」として見る。

$1$ つの視点の転換が、面倒な積分を消してしまうことがある。

別解

答えの $\frac{\pi }{2}$ が、「円柱のちょうど半分」であることに注目する。

この立体を囲む円柱を考えよう。

半径 $1$(最大の $y$ の値)、高さ $1$($x$ の範囲)の円柱。

$$V_{\text{円柱}}=\pi \times 1^2\times 1=\pi$$

求めた体積は $\frac{\pi }{2}$ — ちょうど、その半分だ。

なぜ、きっかり半分なのか。

断面の面積を、追いかけてみよう。

$$S(x)=\pi y^2=\pi x$$

断面積が、$x$ に比例している!

$$x=0:S=0$$ $$x=0.5:S=0.5\pi$$ $$x=1:S=\pi$$

断面積が、$0$ から $\pi$ へ、まっすぐ(線形に)増えていく。

線形に増えるものの平均は、両端の平均だ。

$$\text{平均の断面積}=\frac{0+\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$$

体積 $=$ 平均の断面積 $\times$ 高さ $=\frac{\pi }{2}\times 1=\frac{\pi }{2}$ ✓

「断面積が線形に増えるから、体積は円柱の半分」

円錐($\frac{1}{3}$)との違いが、はっきりする。

• 円錐($y=x$): 断面積 $\pi x^2$ は $2$ 次関数的に増える → 平均は $\frac{\pi }{3}$ → 円柱の $\frac{1}{3}$
• この立体($y=\sqrt{x}$): 断面積 $\pi x$ は 線形に増える → 平均は $\frac{\pi }{2}$ → 円柱の $\frac{1}{2}$

「断面積がどう増えるか」が、体積の割合を決めている。

さらに、$y=x^2$ を回転させたら?(次の問題で扱う)

断面積は $\pi x^4$ — $4$ 次関数的に増える。

$${\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{1}{5}⟹V=\frac{\pi }{5}(\text{円柱の }\frac{1}{5})$$

$3$ つを並べてみよう。

$$y=\sqrt{x}:\frac{\pi }{2},y=x:\frac{\pi }{3},y=x^2:\frac{\pi }{5}$$

曲線が"下に張りつく"ほど、体積は小さくなる。

$\sqrt{x}$ は急に立ち上がって、上のほうに膨らんでいる → 太い立体

$x^2$ は $0$ の近くで長く這っている → 細い立体

一般に、$y=x^n$ を回転させると

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{2n}dx=\frac{\pi }{2n+1}$$

$n=\frac{1}{2}$ なら $\frac{\pi }{2}$、$n=1$ なら $\frac{\pi }{3}$、$n=2$ なら $\frac{\pi }{5}$ ✓

すべて、$1$ つの公式で説明がつく。

「断面積の増え方」を見れば、計算する前に体積の見当がつく。

この感覚が、検算の武器になる。