区分求積法(√)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$ — すでに区分求積の型 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ が完成している。変形は不要だ。

$f(x)=\sqrt{x}$ と読み取って

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}={\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$

「$\frac{1}{n}$ が幅、$f\left(\frac{k}{n}\right)$ が高さの短冊の合計 → 面積」という対応を確認するのが、この問題の役どころである。

① 定積分に読みかえる。 $f\left(\frac{k}{n}\right)=\sqrt{\frac{k}{n}}$ なので $f(x)=\sqrt{x}$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}={\int }_0^1\sqrt{x}dx$$

② 計算する。

$$=[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{]}_0^1=\frac{2}{3}$$

まとめ:すでに $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形なので、$f(x)=\sqrt{x}$ と読んで ${\int }_0^1\sqrt{x}$ に直すだけ。$\sqrt{x}$ の積分は $\frac{2}{3}{x}^{3/2}$。答えは $\frac{2}{3}$。

発展 — 一歩先へ。 この極限は「$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}$ はおよそ $\frac{2}{3}n\sqrt{n}$」という近似式の正確な表現だ($\frac{1}{n}\sum \sqrt{k/n}=\frac{1}{n^{3/2}}\sum \sqrt{k}$ と読み替えられる)。「べきの和 $\sum k^p$ は $\frac{n^{p+1}}{p+1}$ 程度」という一般則($p=1,2$ の $\Sigma$ 公式の主要項がまさにこれ)の、分数べき版である。

和 → 積分の翻訳は、逆向き(積分 → 和で近似)にはコンピュータの数値積分になる。区分求積法は「積分の定義」であると同時に、「計算機が積分を計算する方法」そのものでもある。

別解

答えの $\frac{2}{3}$ に、実はアルキメデスの $\frac{2}{3}$(放物線の弓形)と同じ顔が隠れている。

$y=\sqrt{x}$ のグラフは、放物線 $y=x^2$ を直線 $y=x$ で折り返した鏡像だ。だから単位正方形($0\leqq x,y\leqq 1$)の中で

$$(\sqrt{x}\text{の下の面積})=1-(x^2\text{の下の面積})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

— $\sqrt{x}$ の面積は、正方形から放物線の下($\frac{1}{3}$)を除いた残り。「放物線は正方形を $1:2$ に分ける」という古代の定理が、根号の積分の答えを先に教えてくれる。

数値実験でも確かめられる。$n=100$ で和は $0.6714\dots$、$n=10^4$ で $0.66671\dots$ — 確かに $\frac{2}{3}=0.6667\dots$ へ。短冊が右肩上がりの関数を右端で測っているため、有限の $n$ では少し過大に出る(ずれは約 $\frac{1}{2n}$)ことまで観察できる。極限の式と数値のふるまいを両方見る — 区分求積の理解はこれで立体的になる。