区分求積法(1/(1+x²))

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和 $\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ の極限を、定積分に化けさせたい。

各項 $\frac{n}{n^2+k^2}$ を $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+(k/n{)}^2}$ と変形する。すると $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形が現れる。

これは区分求積の形。$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ として ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{4}$ に読みかえられる。

分母に $2$ 乗が入る積分は、角度 $\arctan$ に化ける型。和の極限を、この定積分に帰着させるのが発想だ。

① 区分求積の形に変形する。 分母・分子を $n^2$ で割る。

$$\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$

② 定積分に読みかえる。 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$、$\frac{k}{n}\to x$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$$

③ 計算する($x=\tan \theta$ 置換)。

$$=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:$\frac{n}{n^2+k^2}$ は「$n^2$ で割って区分求積の形」に。$\frac{1}{1+(k/n{)}^2}$ から $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$。この定積分は $\frac{\pi }{4}$($x=\tan \theta$ 置換)。和の極限に $\pi$ が出る、美しい結果だ。

発展 — 一歩先へ。 同じ仕掛けは、和の走る範囲を変えると別の角度を生む。たとえば $k$ を $1$ から $2n$ まで走らせた $\sum _{k=1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}$ を考える。

このとき $\frac{k}{n}$ は $0$ から $2$ まで動くので、極限は ${\int }_0^2\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan 2$ になる。上端を $c$ に取れば $\arctan c$ が得られる。

有理数だけの足し算をどんどん細かくしていくと、その果てに $\arctan$ の値、すなわち角度が現れる。$\frac{\pi }{4}$ という無理数が整数の和から立ち上がるのは、この橋渡しがあるからだ。

別解

別解 — 挟み撃ちで極限を直接おさえる(得意な人向けの視点)。 区分求積の公式をそのまま持ち出すかわりに、和を $2$ つの積分で挟んで極限を示す。誤差の大きさまで見えるのが利点だ。

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ は $[0,1]$ で減少する。小区間 $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$(幅 $\frac{1}{n}$)では、右端の値が最小・左端の値が最大なので

$$\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\le {\int }_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)dx\le \frac{1}{n}f\left(\frac{k-1}{n}\right).$$

$k=1$ から $n$ まで足す。左辺の和はちょうど求める和 $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$、中央は ${\int }_0^{1}fdx=\frac{\pi }{4}$、右辺の和は $S_n$ より $\frac{1}{n}\{f(0)-f(1)\}=\frac{1}{2n}$ だけ大きい。よって

$$\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2n}\le S_n\le \frac{\pi }{4}.$$

$n\to \infty$ で両端が $\frac{\pi }{4}$ に押し寄せる。はさみうちの原理より $S_n\to \frac{\pi }{4}$。区分求積の公式を認めるかわりに、その中身を不等式で組み立てても、本解と同じ極限にたどり着く。