数学III / 積分法の応用

ドーナツ形(トーラス)の体積(回転体と幾何)

実戦編回転体定積分幾何積分法の応用単元横断

問題

$b > a > 0$ とする。中心 $(b, 0)$ 、半径 $a$ の円板を $y$ 軸のまわりに1回転してできるドーナツ形(トーラス)の体積を求めよ。

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高さ $y$ で切ると、円板の左右の端 $b \pm a^{2} - y^{2}$ が回転して外半径・内半径になる。円環の面積を積分。 $\int_{- a}^{a} a^{2} - y^{2} d y$ は半径 $a$ の半円の面積。

解答・解説

方針

$y$ 軸回転なので高さ $y$ で切る。断面は円環で、その面積 $π (R_{外}^{2} - R_{内}^{2})$ を $y$ で積分。 $\int a^{2} - y^{2} d y$ は半円の面積。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y$ 軸のまわりの回転だから、高さ $y$ で水平に切る。断面は「円環(ドーナツの輪切り)」だ。

高さ $y$ での円板の左右の端は $x = b \pm a^{2} - y^{2}$ 。回転すると、外半径 $b + a^{2} - y^{2}$ 、内半径 $b - a^{2} - y^{2}$ の輪になる。

輪の面積 $π (R_{外}^{2} - R_{内}^{2})$ を展開すると、 $a^{2} - y^{2}$ が効いて $4 π b a^{2} - y^{2}$ 。これを $y$ で積分する( $\int a^{2} - y^{2} d y$ は半円の面積)。

公式円環の面積

π (R^{2} - r^{2})

。

\int_{- a}^{a} a^{2} - y^{2} d y = \frac{π a ^{2}}{2}

(半径

a

の半円の面積)

① 断面(円環)の面積。 高さ $y$ で $s = a^{2} - y^{2}$ とおくと、外半径 $R = b + s$ 、内半径 $r = b - s$ 。円環の面積は $π (R^{2} - r^{2}) = π (R + r) (R - r) = π \cdot (2 b) \cdot (2 s) = 4 π b a^{2} - y^{2} .$

中心 (b,0)・半径 a の円板を y 軸のまわりに回転。破線は回転後の姿(反対側)。高さ y で切ると外半径 b+√(a²−y²)、内半径 b−√(a²−y²) の円環。

② 積分する。 $V = \int_{- a}^{a} 4 π b a^{2} - y^{2} d y = 4 π b \int_{- a}^{a} a^{2} - y^{2} d y .$ $\int_{- a}^{a} a^{2} - y^{2} d y$ は半径 $a$ の半円の面積 $\frac{π a ^{2}}{2}$ 。よって $V = 4 π b \cdot \frac{π a ^{2}}{2} = 2 π^{2} a^{2} b .$

まとめ $y$ 軸回転は高さで切って円環にする。 $R^{2} - r^{2} = (R + r) (R - r) = 4 b s$ と因数分解でき、残る $\int a^{2} - y^{2}$ は半円の面積 $\frac{π a ^{2}}{2}$ 。体積は $2 π^{2} a^{2} b$ 。回転体・積分・幾何の融合。

発展 — 一歩先へ。 パップス・ギュルダンの定理(別解)は、曲線の長さ版もある。「曲線を軸のまわりに回した曲面の面積 $=$ (曲線の長さ) $\times$ (重心が動く距離)」。トーラスの表面積なら $2 π a \times 2 π b = 4 π^{2} ab$ 。回転体の体積・表面積が、どちらも「重心の移動距離」で書けるのは、重心が“平均の位置”だからだ。

答

高さ $y$ での断面は外半径 $b + a^{2} - y^{2}$ 、内半径 $b - a^{2} - y^{2}$ の輪。体積 $\int_{- a}^{a} 4 π b a^{2} - y^{2} d y = 2 π^{2} a^{2} b$ 。

別解

別解 — パップス・ギュルダンの定理で一撃(得意な人向けの高い視点)。 回転体の体積には、積分を使わない強力な定理がある。「平面図形を、それと交わらない軸のまわりに1回転してできる立体の体積は、(図形の面積) $\times$ (重心が動く距離)」。

回す円板の面積は $π a^{2}$ 。重心は円の中心 $(b, 0)$ で、 $y$ 軸のまわりに1回転すると半径 $b$ の円を描き、動く距離は $2 π b$ 。よって

$V = π a^{2} \times 2 π b = 2 π^{2} a^{2} b .$

断面の円環を積分する(本解)と同じ答えが、掛け算1回で出る。パップスの定理は「回転体の体積 $=$ 面積 $\times$ 重心の周」という、重心と回転体を結ぶ美しい橋だ。トーラスの体積が「半径 $a$ の円の面積 $\times$ 中心が描く円周」というのは、直感にもよく合う。

ポイント

$y$ 軸回転は高さ $y$ で切り、外半径・内半径の円環にする。
$R^{2} - r^{2} = (2 b) (2 a^{2} - y^{2})$ と因数分解。
$\int_{- a}^{a} a^{2} - y^{2} d y = \frac{π a ^{2}}{2}$ (半円)、体積 $2 π^{2} a^{2} b$ 。

よくある間違い

円環の面積を $π (R_{外} - R_{内})^{2}$ とする(正しくは $π (R_{外}^{2} - R_{内}^{2})$ 、2乗の差)。
$R_{外}^{2} - R_{内}^{2} = (R_{外} + R_{内}) (R_{外} - R_{内}) = 2 b \cdot 2 a^{2} - y^{2}$ の展開を誤る。
$\int_{- a}^{a} a^{2} - y^{2} d y = \frac{π a ^{2}}{2}$ (半円の面積)を誤る。