断面が正三角形の立体の体積(非回転体)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体でない立体の体積は、断面積 $S(x)$ を求めて $\int S(x)dx$ で出す。回転体の $\pi y^2$ にこだわらないのがコツだ。

底面は半径 $1$ の円。位置 $x$ で底面を切ると、弦の長さは $2\sqrt{1-x^2}$。この弦を1辺とする正三角形が切り口だ。

1辺 $s$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$。$s=2\sqrt{1-x^2}$ を入れて $S(x)=\sqrt{3}(1-x^2)$。あとは $x=-1$ から $1$ まで積分する。

① 断面積を求める。 位置 $x$($-1\le x\le 1$)での底面の弦の長さは $a=2\sqrt{1-x^2}$。切り口の正三角形の面積は $$S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4(1-x^2)=\sqrt{3}(1-x^2).$$

② 積分する。 $$V={\int }_{-1}^1\sqrt{3}(1-x^2)dx=\sqrt{3}[x-\frac{x^3}{3}{]}_{-1}^1=\sqrt{3}\cdot 2(1-\frac{1}{3})=\sqrt{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

まとめ 非回転体でも、断面積 $S(x)$ を積分すれば体積が出る(カヴァリエリ)。弦 $2\sqrt{1-x^2}$ を1辺とする正三角形の面積 $\sqrt{3}(1-x^2)$ を積分して $\frac{4\sqrt{3}}{3}$。断面積・積分・三角形の融合。

発展 — 一歩先へ。 断面積を「(形の係数)$\times$(1辺)${}^2$」と分けると、同じ底面でも断面が正方形なら $\frac{16}{3}$、正三角形なら $\frac{4\sqrt{3}}{3}$、半円なら $\frac{\pi }{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{1}{4}$… と、形の係数を掛けるだけ。カヴァリエリの原理「断面積が等しい立体は体積も等しい」の精密版で、断面の形が体積に効く仕組みが見える。

別解

別解 — 相似な断面の比で捉える(得意な人向けの視点)。 断面はどれも正三角形で、形は同じ・大きさだけが違う(相似)。1辺が $s(x)=2\sqrt{1-x^2}$ だから、面積は $1$ 辺の2乗に比例する。

「もし断面が、弦を1辺とする正方形だったら」体積は ${\int }_{-1}^{1}s(x{)}^{2}dx={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=\frac{16}{3}$。正三角形の面積は正方形($s^2$)の $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 倍だから、体積も同じ比率で

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{16}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

断面の“形の係数”($\frac{\sqrt{3}}{4}$)を最後に掛けるだけ、と分けて考えると、正六角形でも半円でも、同じ $\int s(x{)}^{2}dx=\frac{16}{3}$ に形の係数を掛ければ体積が出る。断面積を「(形の係数)$\times$(1辺)${}^2$」と分解する見方だ。