絶対値つき積分の最小化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^x$ は増加だから、水平線 $y=a$($1\le a\le e$)とは1点 $x_0=\log a$ で交わる。絶対値の積分はこの交点で分割して $a$ の式にするのが鉄則だ。左では $a-e^x$、右では $e^x-a$。

$S(a)$ を計算して微分すると $S^{\prime }(a)=2\log a-1$。最小の条件は $\log a=\frac{1}{2}$、つまり交点が積分区間 $[0,1]$ のちょうど真ん中に来るとき。

絶対偏差の和は「中央」で最小になる。統計で学ぶ中央値の原理の、積分版が顔を出す。

① 分割して計算する。 $x_0=\log a\in [0,1]$。

$$S(a)={\int }_0^{x_0}(a-e^x)dx+{\int }_{x_0}^1(e^x-a)dx$$

前半は ${\left[ax-e^x\right]}_0^{x_0}=a\log a-a+1$、後半は ${\left[e^x-ax\right]}_{x_0}^1=(e-a)-(a-a\log a)=e-2a+a\log a$。よって

$$S(a)=2a\log a-3a+e+1$$

② 微分して最小点を探す。

$$S^{\prime }(a)=2\log a+2-3=2\log a-1$$

$a<\sqrt{e}$ で負、$a>\sqrt{e}$ で正だから、$a=\sqrt{e}$($\log a=\frac{1}{2}$)で最小。交点は $x_0=\frac{1}{2}$ — たしかに区間の中点だ。

③ 最小値。

$$S(\sqrt{e})=2\sqrt{e}\cdot \frac{1}{2}-3\sqrt{e}+e+1=e-2\sqrt{e}+1={\left(\sqrt{e}-1\right)}^2$$

まとめ: 「交点で分割 → $a$ の関数化 → 微分」の直進で解けるが、最小の条件が「交点=区間の中点」と読めると景色が変わる — $|e^x-a|$ の総和を最小にする $a$ は $e^x$ の“時間の中央値” $e^{1/2}$。最小値が $(\sqrt{e}-1{)}^2$ と平方の形に畳まれるのも見事な着地だ。

発展 — 一歩先へ。 「$\int |f-a|$ を最小にする $a$ は $f$ の中央値(上下の測度が釣り合う値)、$\int (f-a{)}^2$ を最小にする $a$ は平均値 ${\int }_0^{1}fdx$」— データの分析で学ぶ「絶対偏差は中央値・平方偏差は平均」と同じ対がここにもある。本問の $e^x$ なら、平方版の最適値は ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1.72$ で、中央値版の $\sqrt{e}\approx 1.65$ とずれるのも統計と同じ現象だ。

別解

微分を「長さの差」で読む(釣り合いの一撃)。 $a$ をわずかに $h$ だけ持ち上げると、$S(a)$ はどう変わるか。図で考える。

• 交点より左($e^x<a$ の区間、長さ $x_0$): 帯 $|e^x-a|=a-e^x$ が厚くなる → 面積は $+h\times x_0$
• 交点より右(長さ $1-x_0$): 帯が薄くなる → 面積は $-h\times (1-x_0)$

よって

$$S^{\prime }(a)=x_0-(1-x_0)=2x_0-1=2\log a-1$$

微分の計算(本解の①②)をせずに、$S^{\prime }$ が図から直接読めた。最小の条件 $S^{\prime }=0$ は $x_0=\frac{1}{2}$ — 左右の区間の長さが釣り合うとき、つまり交点が中点に来るときだ。

「絶対値の積分の $a$ 微分=(下側の測度)−(上側の測度)」という読み方は、この型の最小化すべてに通じる。最小値の計算だけは本解の式に任せればよい。