面積(e^{-x} と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず符号を確認する。

$$e^{-x}>0(\text{すべての }x\text{ で})$$

指数関数は、肩が負でも、値は必ず正だ。

曲線は $x$ 軸の上。面積 $=$ 定積分。

$$S={\int }_0^1{e}^{-x}dx$$

原始関数で、符号のミスが起きやすい。

$e^{-x}$ を微分すると?

$${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=e^{-x}\times (-1)=-e^{-x}$$

マイナスが出る。

だから、積分では逆にマイナスをつけて打ち消す。

$$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$$

検算しよう。 ${\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }=-(-e^{-x})=e^{-x}$ ✓

$$S={\left[-e^{-x}\right]}_0^1=-e^{-1}-(-e^0)=1-\frac{1}{e}$$

「合成関数の積分では、内側の微分($-1$)で割る」 — その結果が、このマイナスだ。

$e^{-x}>0$ なので面積はそのまま定積分。

$$\text{面積}={\int }_0^1{e}^{-x}dx=[-e^{-x}{]}_0^1=-e^{-1}-(-e^0)=-\frac{1}{e}+1=1-\frac{1}{e}$$

まとめ:$e^{-x}$ の積分は $-e^{-x}$(マイナスがつく。$e^{-x}$ を微分すると $-e^{-x}$ なので)。面積 $1-\frac{1}{e}\approx 0.63$。符号の処理($-e^{-1}+e^0$)を丁寧に。

発展 — 一歩先へ。 数学IIIの積分は、ここまでで一通りの道具がそろった。全体を振り返っておこう。

積分が計算できるもの。

• 面積(曲線と $x$ 軸、$2$ 曲線のあいだ)
• 体積(回転体、断面積が分かる立体)
• 道のり・変位(速度の積分)
• 曲線の長さ($L=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$)
• 和の極限(区分求積法)

驚くべき多様さだ。

面積、体積、長さ、距離、和の極限。 見た目はまるで違う。

それでも、すべて $1$ つの操作 — 積分 — で計算できる。

なぜか。

すべてが「細かく刻んで、足し上げる」という構造をもっているからだ。

$$\text{面積}=\sum (\text{高さ})\times (\text{幅})$$ $$\text{体積}=\sum (\text{断面積})\times (\text{厚み})$$ $$\text{距離}=\sum (\text{速さ})\times (\text{時間})$$ $$\text{長さ}=\sum (\text{微小な線分})$$

形は違えど、「微小な量を、無限に足し上げる」という骨格は同じ。

その骨格に、$\int$ という記号を与えたのが、ライプニッツだった。

($\int$ という記号は、「和」を意味するラテン語 summa の頭文字 $S$ を、縦に引き伸ばしたものだ。)

そして、この「足し上げ」を実際に計算する方法が — 微分の逆をたどることだった。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

微積分学の基本定理。

無限個の足し算が、$2$ つの値の引き算になる。

この $1$ 行が、人類の計算能力を、桁違いに引き上げた。

アルキメデスが何十ページも費やした計算が、いま我々は $1$ 分で解く。

それは、我々が賢いからではない。

$300$ 年前の巨人たちが、この道具を作ってくれたからだ。

微分は「変化を捉える」。積分は「変化を積み上げる」。

この $2$ つを手にした人類は、惑星の軌道を計算し、橋を架け、飛行機を飛ばし、宇宙へ出た。

そして、いまあなたの手にも、その道具がある。

${\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{e}$

この $1$ 行を計算できるということは、$300$ 年分の人類の知恵を、自分のものにしたということだ。

その道具で、次は何を測るだろうか。

別解

この面積を、$e^x$ の面積と対応づける。

$y=e^{-x}$ のグラフは、$y=e^x$ を $y$ 軸で折り返した形だ。

$$e^{-x}=e^{(-x)}$$

$x$ を $-x$ に置き換えているので、左右反転になる。

すると、面積についてこんな関係が成り立つ。

$${\int }_0^1{e}^{-x}dx={\int }_{-1}^0{e}^{x}dx$$

「$0$ から $1$ での $e^{-x}$ の面積」は、「$-1$ から $0$ での $e^x$ の面積」に等しい。

鏡に映しただけだから、面積は同じ。

右辺を計算してみよう。

$${\int }_{-1}^0{e}^{x}dx={\left[e^x\right]}_{-1}^0=e^0-e^{-1}=1-\frac{1}{e}$$

同じ答え ✓

数値では

$$1-\frac{1}{e}\approx 1-0.368=0.632$$

約 $0.63$。

この $0.632$ という数、工学では極めて有名だ。

コンデンサの充電、モーターの立ち上がり、温度の変化 — 時定数のあいだに $63.2\%$ まで達する、という法則がある。

その $63.2\%$ が、まさに $1-\frac{1}{e}$ なのだ。

さて、この面積を、$x$ を無限まで伸ばしたらどうなるか。

$${\int }_0^M{e}^{-x}dx={\left[-e^{-x}\right]}_0^M=1-e^{-M}$$

$M$ を大きくすると

$$M=5:0.993,M=10:0.99995,M\to \infty :1$$

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$$

無限に広がる領域なのに、面積はぴったり $1$!

指数関数の減衰が、あまりに速いからだ。 すそが薄すぎて、面積を稼げない。

そして、この「面積 $1$」という性質が、確率論で決定的な役割を果たす。

確率密度関数は、全体の面積が $1$ でなければならない(全事象の確率が $1$ だから)。

$$f(x)=e^{-x}(x\geqq 0)$$

これは、そのまま確率密度関数になる。 指数分布と呼ばれる。

何を表すのか。

「ランダムに起こる出来事の、次の発生までの待ち時間」

• 電球が切れるまでの時間
• 地震が起こるまでの間隔
• 窓口に次の客が来るまでの時間
• 放射性原子が崩壊するまでの時間

すべて指数分布に従う。

そして、この分布には奇妙な性質がある。

無記憶性。

$10$ 年使った電球が、あと $1$ 年もつ確率。新品の電球が $1$ 年もつ確率。この $2$ つが、まったく同じなのだ。

電球は、自分が何年使われたかを"覚えていない"。

この不思議な性質をもつ確率分布は、指数分布しかない。

${\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{e}$ という、素朴な面積計算。

その延長線上に、待ち行列理論と信頼性工学の全体が広がっている。