速度と道のり・変位

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変位と道のりは別物。この区別が要。

変位は「位置の変化」で、速度をそのまま積分する($\int vdt$、符号込み)。

道のりは「実際に動いた距離」で、速さ(速度の絶対値)を積分する($\int |v|dt$)。

$v=t-1$ は $t=1$ で符号が変わるので、道のりの計算では $t=1$ で区間を分ける、と見通す。

① 変位。 速度をそのまま積分する。

$${\int }_0^3(t-1)dt={\left[\frac{t^2}{2}-t\right]}_0^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-0=\frac{3}{2}$$

② 道のり。 $v=t-1$ は $0\le t\le 1$ で $\le 0$、$1\le t\le 3$ で $\ge 0$。絶対値を外して区間を分ける。

$${\int }_0^3|t-1|dt={\int }_0^1(1-t)dt+{\int }_1^3(t-1)dt$$

前半:${\left[t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。後半:${\left[\frac{t^2}{2}-t\right]}_1^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$。

$$\text{道のり}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$

まとめ:変位は $\int vdt$(符号込み)で $\frac{3}{2}$、道のりは $\int |v|dt$(速さ)で $\frac{5}{2}$。$v$ が負の区間($0\le t\le 1$、点が逆向きに動く)があるので、道のりのほうが大きい。符号が変わる $t=1$ で分けるのが要。

発展 — 一歩先へ。 変位は「符号つき面積」、道のりは「面積の総量(絶対値)」。速度が負の区間では点が逆戻りするので、その分は変位では引かれ、道のりでは足される。

だから道のりは、つねに変位の絶対値以上になる。行って戻れば、位置の変化は小さくても、動いた距離は積み上がる。今回は $t=0\sim 1$ で逆走したぶん、道のり $\frac{5}{2}$ が変位 $\frac{3}{2}$ より大きい。

これは絶対値つき定積分と同じ構造。「符号込みの積分」と「絶対値の積分」の違いが、そのまま「変位」と「道のり」の違いになっている。

別解

別解 — 速度のグラフの三角形の面積で読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 $v=t-1$ は直線なので、積分は三角形の面積として目で見える。

速度のグラフは、$t=1$ で $x$ 軸を横切る直線。$x$ 軸との間に $2$ つの三角形ができる。

$0\le t\le 1$:$v$ は負($t=0$ で $-1$)。三角形の面積は $\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。ここは軸の下だから符号は負。

$1\le t\le 3$:$v$ は正($t=3$ で $2$)。三角形の面積は $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。ここは軸の上で正。

変位は符号つきで足す:$-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$。道のりは面積をそのまま足す:$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。

定積分で計算する本解と同じ。速度が直線なら、面積は三角形なので暗算できる。軸の下(負の速度)は変位では引き、道のりでは足す、という違いが図で一目瞭然だ。