telvia演習ラボ

数学II

積分の考え 定積分・面積

不定積分と定積分の計算、面積の計算、定積分で表された関数を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 不定積分
  2. 条件から関数を決める
  3. 定積分の計算
  4. 定積分(1次式)
  5. 曲線と x 軸で囲む面積
  6. 定積分(3次式)
  7. 2曲線で囲む面積
  8. 奇関数の定積分
  9. 偶関数の定積分
  10. 偶関数・奇関数に分けて計算
  11. 微分と積分の関係
  12. x 軸の下にある部分の面積

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 定積分(展開して計算)
  2. 絶対値を含む定積分
  3. 放物線と直線で囲む面積
  4. 放物線と水平線で囲む面積
  5. 定積分を含む関数(定数型)
  6. 定積分を含む関数(上端 x 型)
  7. 上に凸な放物線と直線で囲む面積
  8. 絶対値を含む定積分(2次)
  9. 2つの放物線で囲む面積
  10. 定積分の最小値
  11. 3次曲線と直線で囲む面積
  12. 放物線と x 軸で囲む面積(6分の1公式)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 囲む面積の最小値
  2. 3次曲線と接線で囲む面積
  3. 定積分を含む関数(重み付き)
  4. 面積を2等分する直線
  5. 定積分を含む関数(上端 x 型)
  6. 2つの放物線で囲む面積
  7. 3次曲線と x 軸で囲む面積
  8. 面積から直線を決める

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 放物線と直線で囲む面積(1/6公式)
  2. 定積分で表された関数(下端が定数)
  3. 絶対値を含む定積分
  4. 3次曲線と接線で囲む面積
  5. 面積を2等分する水平な直線
  6. 定積分を最小にする定数
  7. 奇関数の性質を使う定積分
  8. 面積から係数を逆算する

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 6分の1公式の証明
  2. 放物線と2本の接線で囲む面積(12分の1公式)
  3. 定積分で表された関数(定数型)
  4. 上端に変数をもつ定積分(微分積分学の基本定理)
  5. 放物線と直線で囲む面積の最小
  6. 絶対値を含む定積分
  7. 偶関数・奇関数の対称性を使う定積分
  8. 3次曲線と接線で囲む面積(重解)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 放物線と直線が囲む面積の最小
  2. 絶対値を含む定積分の最小
  3. 定積分を含む関数(連立)
  4. 面積を2等分する直線
  5. 二項係数の和を積分で求める
  6. 絶対値のグラフと直線が囲む面積
  7. 3次関数と直線が囲む2部分の面積
  8. 対称性を使う定積分

積分の考えの解説(つまずきやすい点と学習の順序)