積分の考え — 定積分・面積

不定積分 $\int (3x^2-2x+1)dx$ を求めよ。

$F^{\prime }(x)=2x$ かつ $F(1)=3$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^{2}3x^{2}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_1^3(2x-1)dx$ を求めよ。

曲線 $y=x^2$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=0$、$x=3$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1(4x^3+2x)dx$ を求めよ。

曲線 $y=x^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

定積分 ${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_{-1}^{1}3x^{2}dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_{-1}^1(x^2+x)dx$ を求めよ。

$\frac{d}{dx}{\int }_1^x(t^2-1)dt$ を求めよ。

曲線 $y=x^2-4$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

定積分 ${\int }_0^2(x-1)(x+2)dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^2|x-1|dx$ を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

関数 $f(x)$ が $f(x)=x+2{\int }_0^{1}f(t)dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

関数 $f(x)$ と定数 $a$ が、すべての $x$ で ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2+x-2$ を満たす。$f(x)$ と $a$ の値を求めよ。

放物線 $y=-x^2+4$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

定積分 ${\int }_0^3|x^2-1|dx$ を求めよ。

$2$ つの放物線 $y=x^2$ と $y=2x-x^2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

定積分 ${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx$ を最小にする定数 $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

曲線 $y=x^3$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2-2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

$m$ を実数とする。放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $m$ で表し、$S$ を最小にする $m$ と最小値を求めよ。

曲線 $y=x^3$ の点 $(1,1)$ における接線が、曲線と再び交わる点を求め、曲線と接線で囲まれた部分の面積を求めよ。

関数 $f(x)$ が $f(x)=x^2+{\int }_0^{1}tf(t)dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=1$ で囲まれた部分の面積を、直線 $y=k$($0<k<1$)が $2$ 等分する。定数 $k$ の値を求めよ。

関数 $f(x)$ と定数 $a$ が、すべての $x$ で ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3x+2$ を満たす。$f(x)$ と $a$ の値を求めよ。

$2$ つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-x^2+4$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=x^3-4x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+c$($c$ は定数)で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$c$ の値を求めよ。ただし $2$ つは異なる $2$ 点で交わるとする。

放物線 $y=x^2-2x$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

等式 ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3x+2$ がすべての $x$ で成り立つとき、関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めよ。

定積分 ${\int }_0^3|x^2-2x|dx$ を求めよ。

曲線 $y=x^3$ 上の点 $(1,1)$ における接線と、この曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4$ で囲まれた部分の面積を、$x$ 軸に平行な直線 $y=k$($0<k<4$)が $2$ 等分する。定数 $k$ の値を求めよ。

${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx$ を最小にする定数 $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

定積分 ${\int }_{-2}^2(3x^3+2x^2-5x+1)dx$ を求めよ。

$a>0$ とする。放物線 $y=x^2+ax$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

$\alpha <\beta$ とする。${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ が成り立つことを示せ。

放物線 $y=x^2$ 上の $2$ 点 $(a,a^2),(b,b^2)$($a<b$)における接線を引く。放物線とこれら $2$ 接線で囲まれる部分の面積を $a,b$ で表せ。

関数 $f(x)$ が $f(x)=x^2+{\int }_0^{1}xf(t)dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

関数 $f(x)$ と定数 $a$ が、すべての $x$ で ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-x$ を満たすとする。$f(x)$ と $a$ の値を求めよ。

直線 $y=mx+1$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる部分の面積 $S(m)$ を最小にする $m$ と、その最小値を求めよ。

定積分 ${\int }_0^2|x^2-1|dx$ を求めよ。

定積分 ${\int }_{-2}^2(x^5-3x^3+2x^2-x+5)dx$ を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x$ の点 $(1,-2)$ における接線を $\ell$ とする。曲線と $\ell$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+1$ で囲まれる部分の面積を $S(m)$ とする。$S(m)$ を最小にする $m$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

実数 $a$($0\le a\le 2$)に対し、${\int }_0^2|x^2-ax|dx$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ で $f(x)=x+{\int }_0^1(x+t)f(t)dt$ を満たす。$f(x)$ を求めよ。

放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を、原点を通る直線 $y=mx$($0<m<2$)が $2$ 等分するとき、$m$ の値を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ を求めよ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ は二項係数 ${}_n{\mathrm{C}}_k$ である。

曲線 $y=|x^2-1|$ と直線 $y=3$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

$3$ 次関数 $y=x^3-3x$ のグラフと直線 $y=x$ で囲まれる $2$ つの部分の面積は等しいことを示せ。

定積分 ${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{5}dx$ の値を求めよ。