3次曲線と x 軸で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 次曲線と $x$ 軸で囲む面積。交点は $3$ つある。

原点をはさんで、曲線が $x$ 軸の上にある区間と下にある区間が入れ替わる。

だから区間ごとに「上 $-$ 下」を積分して足す。曲線が奇関数なら、対称性で片側の $2$ 倍としてもよい。

符号の変わる区間ごとに向きを正して足す。$x$ 軸の下の面積処理の総合問題だ。

① 交点を求める。 $x^3-4x=0$ より $x(x-2)(x+2)=0$、$x=0,\pm 2$。

② 上下と対称性を確かめる。 $0<x<2$ で $x^3-4x<0$($x$ 軸の下)。$y=x^3-4x$ は奇関数なので、$[-2,0]$ の部分と $[0,2]$ の部分は原点対称で面積が等しい。

③ 片側を積分して $2$ 倍する。 $[0,2]$ では曲線が下なので $-（x^3-4x)=4x-x^3$ を積分。

$$S=2{\int }_0^2(4x-x^3)dx=2[2x^2-\frac{x^4}{4}{]}_0^2=2(8-4)=2\times 4=8$$

まとめ:$3$ 次曲線と $x$ 軸は、原点をはさんで上下 $2$ つの領域。奇関数の対称性で片側 × $2$。下にある区間は $-f$ を積分して符号を正にするのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 同じ形の $y=x^3-cx$($c>0$)と $x$ 軸で囲む面積が、$c$ でどう変わるか見える。交点は $x=0,\pm \sqrt{c}$ で、片側 $[0,\sqrt{c}]$ では曲線が $x$ 軸の下にある。

対称性から全体は片側の $2$ 倍。片側の面積は ${\int }_0^{\sqrt{c}}(cx-x^3)dx=\frac{c^2}{4}$ だから、全体は $\frac{c^2}{2}$ になる。

だから囲む面積は $\frac{c^2}{2}$ で、$c$ の $2$ 乗で増える。本問は $c=4$ で $\frac{16}{2}=8$。係数 $c$ が大きいほど山と谷が深くなり、面積が急に増えるのが式から読める。

別解

別解 — 対称性を使わず、区間ごとに正して足す(苦手な人向けの機械ルート)。 奇関数の対称性に気づかなくても、区間を分けて符号をそろえれば必ず面積が出る。

交点は $x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0$ より $x=-2,0,2$。$[-2,0]$ では曲線が $x$ 軸の上、$[0,2]$ では下にある($x=1$ で $y=1-4=-3<0$)。

$[-2,0]$ の面積は、曲線が上だからそのまま積分して ${\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]}_{-2}^0=0-(4-8)=4$。

$[0,2]$ の面積は、下にあるので $-y$ を積分して ${\int }_0^2(4x-x^3)dx={\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=8-4=4$。

足して $4+4=8$。両側がともに $4$ になり、対称性を使う本解と同じ答え。対称性を見抜けなくても、上下を確かめて区間ごとに積分すれば安全に出せる。