面積を2等分する直線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積を $2$ 等分する問題。$x$ で積分すると根号が出て扱いにくい。

そこで発想を切り替え、$y$ について積分する。

高さ $y$ での横幅は、放物線 $x=\pm \sqrt{y}$ から $2\sqrt{y}$。これを $y$ 方向に積み上げる。

あとは「上側の面積 $=$ 全体の半分」とおけば、$k$ の方程式が立つ。$x$ で切りにくい形は $y$ で切る、という視点の転換が核だ。

① 全体の面積を $y$ 積分で出す。 高さ $y$ での幅は $2\sqrt{y}$。

$$S_{\text{全}}={\int }_0^{1}2\sqrt{y}dy=2[\frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}{]}_0^1=\frac{4}{3}$$

② 上側の面積を $k$ で表す。 $y=k$ から $y=1$ まで。

$$S_{\text{上}}={\int }_k^{1}2\sqrt{y}dy=\frac{4}{3}[y^{\frac{3}{2}}{]}_k^1=\frac{4}{3}(1-k^{\frac{3}{2}})$$

③ 「上側 = 全体の半分」とおく。 $S_{\text{上}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{全}}=\frac{2}{3}$。

$$\frac{4}{3}(1-k^{\frac{3}{2}})=\frac{2}{3}\Rightarrow 1-k^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow k^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}$$

④ $k$ を解く。 両辺を $\frac{2}{3}$ 乗する。

$$k=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$$

まとめ:横線で面積を分ける問題は、$y$ で積分(横に切る)と一気にやさしくなる。幅 $2\sqrt{y}$ を $y$ で積分し、「上側 = 半分」の方程式を解く。$k^{3/2}=\frac{1}{2}$ から $k=2^{-2/3}$。

発展 — 一歩先へ。 同じ問いを $y=x^4$ や一般の $y=x^n$($n$ は偶数)で考えると、$2$ 等分の高さ $k$ がどう変わるか見える。

高さ $y$ での幅は $x=\pm y^{1/n}$ から $2y^{1/n}$。これを $0$ から $k$ まで積分すると、下側の面積は全体の $k^{(n+1)/n}$ 倍になる。$2$ 等分の条件は $k^{(n+1)/n}=\frac{1}{2}$、すなわち $k=2^{-n/(n+1)}$。

$n=2$ なら指数は $\frac{n+1}{n}=\frac{3}{2}$ で $k=2^{-2/3}$、本問と一致する。$n$ が大きくなると指数 $\frac{n+1}{n}$ は $1$ に近づき、$k=2^{-n/(n+1)}$ は下がって $2^{-1}=\frac{1}{2}$ に近づく($n=4$ で約 $0.574$、$n=10$ で約 $0.533$)。曲線 $y=x^n$ は $n$ が大きいほど底が平らになり、囲む図形は幅 $2$ の長方形に近づくので、$2$ 等分線 $k$ は真ん中の $\frac{1}{2}$ に寄っていく。

別解

別解 — 放物線をアフィン変換で伸縮する(得意な人向けの視点)。 放物線 $y=x^2$ は、$x$ を $\lambda$ 倍・$y$ を ${\lambda }^2$ 倍という縦横で倍率の違う伸縮(アフィン変換)で、自分自身に重なる。

いま「放物線と $y=1$ で囲む全体」を、$x$ 方向に $\sqrt{k}$ 倍、$y$ 方向に $k$ 倍してみる。すると $y=1$ は $y=k$ に移り、全体は「放物線と $y=k$ で囲む下側」にちょうど重なる。

これは縦横で倍率が違う拡大(相似ではない)だから、面積は縦横の倍率の積 $k\cdot \sqrt{k}=k^{3/2}$ 倍になる。つまり下側の面積は全体の $k^{3/2}$ 倍だ。

$2$ 等分は「下側 $=$ 全体の半分」だから $k^{3/2}=\frac{1}{2}$、すなわち $k=2^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$。積分を一度もせずに、図形の伸縮だけで本解と同じ $k$ が出る。