定積分(展開して計算)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積 $(x-1)(x+2)$ のままでは、項ごとに積分する道具が使えない。

まず展開して多項式にする。それから各項を $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ の公式で積分する。

「計算の前に、計算できる形へ整える」— 微分のときとまったく同じ下ごしらえだ。

① 展開する。

$$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$$

② 原始関数を求める。

$$\int (x^2+x-2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x$$

③ 代入して引く。

$$[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x{]}_0^2=\frac{8}{3}+2-4=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$$

まとめ:積分でも「積は展開してから」が基本。$\frac{8}{3}-2=\frac{8-6}{3}=\frac{2}{3}$ のように、通分をていねいに。

発展 — 一歩先へ。 「積分区間の中で符号が変わっているか」は、この先ずっと効く確認事項だ。定積分の値が欲しいだけなら符号は放っておいてよいが、面積を聞かれたら負の部分を反転して足し直す必要がある。同じ式でも、問いが「定積分」か「面積」かで処理が変わる — この区別が数IIの積分の急所になっている。

なお、この後の問題で学ぶ $\frac{1}{6}$ 公式を使うと、この形($2$ 解をもつ $2$ 次式)の定積分は交点だけから素早く出せるようになる。

別解

答えの $\frac{2}{3}$ が「小さい正の数」になる理由を、グラフで見ておくと定積分の意味がつかめる。

$y=(x-1)(x+2)$ は $x=1$ と $x=-2$ で $x$ 軸を横切る放物線。積分区間 $[0,2]$ の中では、$x=1$ を境に前半は $x$ 軸の下、後半は上にある。

定積分は「符号付きの面積」だから、下の部分はマイナス、上の部分はプラスで数える。実際に分けて計算すると

$${\int }_0^1(x-1)(x+2)dx=-\frac{7}{6},{\int }_1^2(x-1)(x+2)dx=\frac{11}{6}$$

和は $-\frac{7}{6}+\frac{11}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。負の部分と正の部分がほとんど打ち消し合った「差し引きの残り」が $\frac{2}{3}$ だ。

定積分 $=$ 面積、と思い込んでいると $\frac{2}{3}$ の小ささに戸惑う。符号付き面積という見方を持つと、計算結果の妥当性を絵で確かめられるようになる。