放物線と水平線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相手が水平線でも、話は変わらない。水平線 $y=4$ も直線の一種だからだ。

交点は $x^2=4$ から $x=\pm 2$。区間 $[-2,2]$ では水平線が上。

道は $2$ つある。$\frac{1}{6}$ 公式($\beta -\alpha =4$)か、左右対称を使って $2{\int }_0^2$ にするか。どちらでも同じ答えに着く — 複数ルートを持っておいて速い方を選ぶのが、面積問題の賢い姿勢だ。

① 交点を求める。 $x^2=4$ より $x=\pm 2$。

② $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $x^2$ の係数 $1$、$\beta -\alpha =2-(-2)=4$。

$$\text{面積}=\frac{1\times 4^3}{6}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$$

(対称性で $2{\int }_0^2(4-x^2)dx=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ と計算しても同じ。)

まとめ:水平線 $y=4$ でも $\frac{1}{6}$ 公式はそのまま使える。交点の差 $\beta -\alpha =4$ を $3$ 乗して $6$ で割るだけ。偶関数なら $2{\int }_0^2$ の対称計算も手軽だ。

発展 — 一歩先へ。 アルキメデスはこの $\frac{2}{3}$ を「取り尽くし法」— 弓形の中に三角形を無限に詰めていく方法で証明した。三角形の面積が $\frac{1}{4}$ 倍ずつの等比数列になり、その無限和が $\frac{4}{3}$ 倍(内接最大三角形の)になる。無限等比級数(数III)と積分の原型が、紀元前の幾何にすでにあった。

偶関数の対称性 ${\int }_{-a}^a=2{\int }_0^a$ も今回確かめた武器のひとつ。計算量を半分にするだけでなく、奇関数なら $0$ と即断できる — 定積分を「計算する前に構造で見る」習慣の入り口だ。

別解

古代ギリシャのアルキメデスが(積分の誕生より $2000$ 年前に)見つけた美しい定理で、この面積は暗算になる。

放物線の弓形(放物線と弦で囲まれた部分)の面積は、外接する長方形のちょうど $\frac{2}{3}$。

今回の弓形を囲む長方形は、幅 $4$($x=-2$ から $2$)、高さ $4$($y=0$ から $4$)で面積 $16$。だから

$$S=\frac{2}{3}\times 16=\frac{32}{3}$$

$\frac{1}{6}$ 公式の答えと一致する。実はこの $2$ つは同じ事実の言い換えで、$\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ に長方形の寸法(幅 $\beta -\alpha$、高さは放物線だと幅の $2$ 乗に比例)を入れると $\frac{2}{3}$ 倍の関係が出てくる。

「放物線は長方形の $3$ 分の $2$ を占める」— グラフの膨らみ具合を数で覚えておくと、答えの検算が一瞬でできる。