絶対値を含む定積分(2次)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値の中身 $x^2-1$ の符号を最初に調べる。$x^2-1=(x-1)(x+1)$ だから、区間 $[0,3]$ の中で符号が変わるのは $x=1$ だけ($x=-1$ は区間の外)。

$0\leqq x<1$ で負、$1<x\leqq 3$ で正。

だから $x=1$ で区間を割り、前半は $-(x^2-1)=1-x^2$、後半はそのまま $x^2-1$ を積分する。中身が $2$ 次になっても「符号の変わる点で分割」の型は $1$ 次のときと同じだ。

① 符号で区間を分ける。 $0\leqq x\leqq 3$ では、$x^2-1$ は $0\leqq x<1$ で負、$1<x\leqq 3$ で正。

$$|x^2-1|=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (0\leqq x<1)\\ x^2-1& (1\leqq x\leqq 3)\end{array}$$

② それぞれ積分する。

$${\int }_0^1(1-x^2)dx=[x-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

$${\int }_1^3(x^2-1)dx=[\frac{x^3}{3}-x{]}_1^3=(9-3)-(\frac{1}{3}-1)=6+\frac{2}{3}=\frac{20}{3}$$

③ 足す。

$$\frac{2}{3}+\frac{20}{3}=\frac{22}{3}$$

まとめ:絶対値つき積分は「符号の変わり目 $x=1$ で区間を分ける」。負の区間では中身を反転($1-x^2$)してから積分する。分けさえすれば、あとはふつうの定積分だ。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_0^3|x^2-1|dx=\frac{22}{3}$ と ${\int }_0^3(x^2-1)dx=6$ の差 $\frac{4}{3}$ は、負の部分の面積 $\frac{2}{3}$ のちょうど $2$ 倍。この関係を一般に書くと $\int |f|=\int f+2{\int }_{f<0}(-f)$ — 絶対値積分の構造式だ。

グラフで言えば、$y=|x^2-1|$ は $y=x^2-1$ の $x$ 軸より下の部分を上へ折り返したもの。折り返しで増える面積が「$2$ 倍」の正体である。式の補正と絵の折り返しが同じことを言っている。

別解

「まずそのまま積分し、あとで直す」という補正方式もある。

絶対値を無視した積分は簡単だ。

$${\int }_0^3(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_0^3=9-3=6$$

この $6$ は、$[0,1)$ の負の部分を「マイナスのまま」足してしまった値。正しい絶対値の積分では、その部分をプラスで数えたい。マイナスをプラスに直すには、その部分の大きさを $2$ 倍して足し戻せばよい($-p$ を $+p$ にする差は $2p$)。

負の部分の大きさは

$${\int }_0^1(1-x^2)dx=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

よって

$${\int }_0^3|x^2-1|dx=6+2\times \frac{2}{3}=\frac{22}{3}$$

分割方式と同じ答え。分割数が多い問題ほど「全体を一気に $+$ 負の部分 $\times 2$」の補正方式が効いてくる。