3次曲線と接線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線と接線で囲む面積。まず接線を作り、曲線との交点を求める。

点 $(1,1)$ での接線は $y=3x-2$。曲線との交点は $x^3=3x-2$、すなわち $x^3-3x+2=0$ の解。

接点では曲線と接線が接する。だから $x=1$ は重解。$x^3-3x+2$ は $(x-1{)}^2$ を因数にもつ。

割ると $(x-1{)}^2(x+2)$。もう $1$ つの交点は $x=-2$。この区間で(曲線)$-$(接線)を積分する。

① 接線を求める。 $y^{\prime }=3x^2$ より $(1,1)$ での傾きは $3$。接線は $y=3(x-1)+1=3x-2$。

② 交点を求める。 $x^3=3x-2$、すなわち $x^3-3x+2=0$。接点 $x=1$ は重解だから $(x-1{)}^2$ でくくれ

$$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0⟹x=1(\text{重解}),-2$$

もう $1$ つの交点は $x=-2$。

③ 面積を積分する。 $-2\le x\le 1$ で、曲線 $x^3$ と接線 $3x-2$ の上下を確認する($x=0$ で曲線 $0$、接線 $-2$ → 曲線が上)。

$$S={\int }_{-2}^1\{x^3-(3x-2)\}dx={\int }_{-2}^1(x^3-3x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_{-2}^1$$

$x=1$ で $\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{4}$、$x=-2$ で $4-6-4=-6$。よって

$$S=\frac{3}{4}-(-6)=\frac{27}{4}$$

まとめ:$3$ 次曲線と接線の面積は「接点は重解 → $(x-\text{接点}{)}^2$ で因数分解 → もう $1$ 交点まで積分」。差 $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ から交点 $x=-2$ が出る。上下の確認を忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 $3$ 次曲線とその接線が囲む面積は $\frac{|a|}{12}(p-q{)}^4$($a$ は $3$ 次係数、$p$ は接点、$q$ はもう $1$ つの交点)。放物線の $\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ の次数を $1$ つ上げた形だ。これらは $\int (x-\alpha {)}^m(x-\beta {)}^{n}dx$ がベータ関数で閉じた形になる、という一般論の特別な場合。

別解

別解 — 「接線と曲線の面積」の公式で(得意な人向けの視点)。 曲線と接線の差は $(x-1{)}^2(x+2)$。接点 $x=1$(重解)ともう $1$ つの交点 $x=-2$ ではさまれる。

この形の積分には一般公式がある。接点を $p$、もう $1$ つの交点を $q$ とすると

$${\int }_q^p(x-p{)}^2(x-q)dx=\frac{(p-q{)}^4}{12}.$$

本問は $p=1$、$q=-2$ だから $p-q=3$。

$$\text{面積}=\frac{3^4}{12}=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}.$$

$(x-1{)}^2(x+2)$ を展開して積分する本解と同じ。$3$ 次曲線と接線が囲む面積は「接点ともう $1$ つの交点の距離の $4$ 乗 $÷12$」。$\frac{1}{6}$ 公式(放物線)の $3$ 次版と思えばよい。置換 $u=x-1$ で重解を原点に運んで ${\int }_{-3}^0{u}^2(u+3)du$ としても同じ $\frac{27}{4}$ が出る。