数学II / 積分の考え

3次曲線と接線で囲む面積(重解)

実戦編積分面積接線重解微分単元横断

問題

曲線 $y = x^{3} - 3 x$ の点 $(1, - 2)$ における接線を $ℓ$ とする。曲線と $ℓ$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

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$(1, - 2)$ での接線は $y = - 2$ 。曲線との差 $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 。接点 $x = 1$ が重解、他方 $x = - 2$ 。 $\int_{- 2}^{1}$ 。

解答・解説

方針

接線を求め、曲線との差 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ (接点で重解)を作る。 $x = - 2$ から $x = 1$ まで積分する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず接線を求める。 $(1, - 2)$ での傾きは $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ に $x = 1$ を入れて $0$ 。接線は水平線 $y = - 2$ だ。

面積の急所は、曲線と接線の差 $x^{3} - 3 x + 2$ の因数分解。接点では重解になるはずで、実際 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ 。

これで交点が $x = 1$ (重解)と $x = - 2$ と分かる。 $- 2$ から $1$ まで、差の符号を確かめて積分すればよい。

重要曲線と接線の差は接点で重解:

x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)

① 接線。 $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ 、 $(1, - 2)$ での傾きは $3 - 3 = 0$ 。接線は $ℓ : y = - 2$ 。

② 交点と差。 $x^{3} - 3 x = - 2 \Rightarrow x^{3} - 3 x + 2 = 0$ 。 $x = 1$ が重解で $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2),$ 交点は $x = 1$ (接点), $x = - 2$ 。 $- 2 \leq x \leq 1$ で $(x - 1)^{2} (x + 2) \geq 0$ (曲線が接線の上)。

③ 面積。 $S = \int_{- 2}^{1} (x - 1)^{2} (x + 2) d x .$ 展開 $(x - 1)^{2} (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2$ で $S = \int_{- 2}^{1} (x^{3} - 3 x + 2) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 2 x]_{- 2}^{1} = (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2) - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (- 6) = \frac{27}{4} .$

y=x³−3x と点(1,−2)の接線 ℓ:y=−2。曲線と ℓ で囲む面積は 27/4(交点 x=−2, 1)。

まとめ 接線 $y = - 2$ 、差 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ を $[- 2, 1]$ で積分し面積 $\frac{27}{4}$ 。面積(積分)と接線・重解(微分)の融合。

発展 — 一歩先へ。 接点を一般の $t$ にすると、 $y = x^{3} - 3 x$ の接線と曲線は $x = - 2 t$ で再び交わり、囲む面積は $\frac{( 3 t ) ^{4}}{12} = \frac{27 t ^{4}}{4}$ 。接点が原点から離れるほど、面積は4乗で急激に増える。1/12公式が「間隔の4乗」で効いていることの、目に見える現れだ。

答

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ 、 $(1, - 2)$ での傾き $0$ 、接線 $ℓ : y = - 2$ 。交点は $x^{3} - 3 x = - 2$ 、すなわち $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0$ 、 $x = 1$ (重解), $- 2$ 。面積 $= \int_{- 2}^{1} {(x^{3} - 3 x) - (- 2)} d x = \int_{- 2}^{1} (x - 1)^{2} (x + 2) d x = \frac{27}{4}$ 。

別解

別解 — 1/12公式で一撃(得意な人向けの時短ルート)。 曲線と接線の差が $(x - 1)^{2} (x + 2)$ の形、つまり「(接点での2乗) $\times$ (残りの1次)」になっている。この形の積分には専用公式がある。

$\int_{s}^{t} (x - t)^{2} (x - s) d x = \frac{( t - s ) ^{4}}{12} .$

本問は接点 $t = 1$ 、再交点 $s = - 2$ で、囲む部分の面積はこの積分の絶対値。

$S = \frac{( 1 - ( - 2 ) ) ^{4}}{12} = \frac{3 ^{4}}{12} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4} .$

「3次曲線と接線で囲む面積 $= \frac{( 接点と再交点の間隔 ) ^{4}}{12}$ 」。放物線の $\frac{1}{6}$ 公式の3次版で、接線がらみの面積を一発で出す。もちろん展開して積分しても同じ $\frac{27}{4}$ に着く。

ポイント

$(1, - 2)$ での接線は $y = - 2$ (傾き $0$ )。
差 $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 、交点 $x = 1, - 2$ 。
$\int_{- 2}^{1} (x - 1)^{2} (x + 2) d x = \frac{27}{4}$ 。

よくある間違い

接点 $(1, - 2)$ での傾きを計算し忘れ、接線を $y = - 2$ でなく別の直線にする。
差 $x^{3} - 3 x + 2$ の因数分解で重解を見逃し、 $(x - 1) (x^{2} + x - 2)$ で止まる(もう一度 $x = 1$ が根で $(x - 1)^{2} (x + 2)$ )。
積分区間を取り違える(接点 $x = 1$ と再交点 $x = - 2$ の間、 $- 2$ から $1$ )。