定積分(1次式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は前問と同じ。原始関数を求めて、代入して引く。

原始関数。

$$\int (2x-1)dx=x^2-x$$

代入して引く。

$${\int }_1^3(2x-1)dx=[x^2-x{]}_1^3$$

上端 $x=3$: $9-3=6$

下端 $x=1$: $1-1=0$

引く。

$$6-0=6$$

下端の値が $0$ になったので、簡単だった。

しかし油断は禁物。 下端の代入を忘れると、たまたま答えが合ってしまうことがある — 「$0$ だから引かなくていい」ではなく、「計算したら $0$ だった」という手順を踏む。

この積分は、$1$ 次関数の下の面積 — つまり台形の面積である(別解で見る)。

① 原始関数を求める。 $\int (2x-1)dx=x^2-x$。

② 代入して引く。

$${\int }_1^3(2x-1)dx=[x^2-x{]}_1^3=(9-3)-(1-1)=6-0=6$$

まとめ:下端の代入 $(1-1)=0$ もきちんと引く。「$F(b)-F(a)$」の引き算を省かないのがミス防止のコツだ。

発展 — 一歩先へ。 「積分は面積」だが、負の値になることもある。そこが、素朴な「面積」との違いだ。

$${\int }_0^1(x-1)dx={\left[\frac{x^2}{2}-x\right]}_0^1=\left(\frac{1}{2}-1\right)-0=-\frac{1}{2}$$

負の値! 面積が負になるはずはない。

なぜか。 区間 $[0,1]$ で、$y=x-1$ は負の値をとる($x$ 軸の下にある)。

$$\boxed{\text{x 軸の下の部分は、積分では"負の面積"として計算される}}$$

「符号つき面積」 — これが定積分の正体だ。

この性質は、便利でもあり、罠でもある。

便利な例: 打ち消し合い。

$${\int }_{-1}^{1}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$$

左半分の負の面積と、右半分の正の面積が、ちょうど打ち消し合う — 奇関数の積分が $0$ になる理由だ(問題 $8$)。

罠の例: 「面積を求めよ」と言われたら。

$$y=x^2-4\text{と x 軸で囲まれた"面積"は?}$$

素直に積分すると

$${\int }_{-2}^2(x^2-4)dx=-\frac{32}{3}(\text{負!})$$

面積が負になるはずがない。 $x$ 軸の下にあるからだ。

「面積」を求めたいなら、絶対値をとるか、符号を反転させる。

$$(\text{面積})=\left|-\frac{32}{3}\right|=\frac{32}{3}$$

または、${\int }_{-2}^2\{0-(x^2-4)\}dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\frac{32}{3}$(上 $-$ 下の順で引く)。

問題 $12$ で、これを扱う。

物理では、この"符号つき"がむしろ本質的だ。

速度 $v(t)$ を積分すると、$\text{変位}$(位置の変化)になる。

$${\int }_0^{T}v(t)dt=(\text{変位})$$

行きと帰りで往復すれば、変位は $0$(元の位置に戻る)— 負の速度が、正の速度を打ち消す。

一方、$\text{道のり}$(走った距離)は

$${\int }_0^T|v(t)|dt$$

絶対値をつける — こちらは決して負にならない。

「変位」と「道のり」の違いが、「符号つき面積」と「面積」の違いに、そのまま対応している。

定積分は、単なる面積ではない。それは"向き"を持った量なのである。

別解

この積分は、積分を使わずに求められる。 小学校で習った「台形の面積」で。

図で考える。

直線 $y=2x-1$ と、$x$ 軸、$x=1$、$x=3$ で囲まれた図形は?

$4$ つの頂点を確認する。

• $(1,0)$、$(3,0)$($x$ 軸の上)
• $(1,1)$($x=1$ での直線の高さ: $2\times 1-1=1$)
• $(3,5)$($x=3$ での高さ: $2\times 3-1=5$)

これは台形だ!

• 上底(左の縦の辺): $1$
• 下底(右の縦の辺): $5$
• 高さ(横の長さ): $3-1=2$

台形の面積公式。

$$\frac{(\text{上底}+\text{下底})\times \text{高さ}}{2}=\frac{(1+5)\times 2}{2}=\frac{12}{2}=6$$

積分の答えと、ぴったり一致した ✓

小学校の公式で、定積分が計算できた。

この一致は、何を意味するか。

$$\boxed{\text{定積分は、面積そのものである}}$$

($1$ 次関数なら台形、$2$ 次関数なら曲線の下の面積 — 図形の種類が変わっても、積分は同じ手順で計算できる。)

そして、この一致は"検算"に使える。

$1$ 次関数の定積分なら、必ず台形(または三角形)の面積になる。 積分の答えが台形の面積と合わなければ、どこかで計算ミスをしている。

もう $1$ つの見方: 平均の高さ。

台形の面積 $=$ (平均の高さ)$\times$(幅)

$$\frac{1+5}{2}\times 2=3\times 2=6$$

「平均の高さ $3$ で、幅 $2$ の長方形」と同じ面積。

この "平均の高さ" は、区間の中点 $x=2$ での値と一致する。

$$f(2)=2\times 2-1=3✓$$

$1$ 次関数では、「中点での値」が「平均の高さ」になる — 直線だから、真ん中がちょうど平均だ。

この考え方を一般化すると、「関数の平均値」という概念になる。

$$(\text{f の [a,b] での平均値})=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

今回なら $\frac{1}{2}\times 6=3$ — 平均の高さは $3$ ✓

「積分して、区間の幅で割る」= 平均 — データの平均($\text{合計}÷\text{個数}$)と、まったく同じ構造だ。

離散(データ)では和を個数で割り、連続(関数)では積分を幅で割る。

積分は、"連続的な和"なのである。