3次曲線と直線で囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点を求めると $x^3=x$ から $x=-1,0,1$ の3つ。囲まれた部分は、原点をはさんで左右に $2$ つできる。

ここで上下関係に注意。右側($0\leqq x\leqq 1$)では $y=x$ が上、左側($-1\leqq x\leqq 0$)では $y=x^3$ が上。区間ごとに「上 $-$ 下」が入れ替わる。

ただし $y=x^3$ も $y=x$ も原点対称(奇関数)だから、$2$ つの部分は合同で面積が等しい。片側だけ計算して $2$ 倍すれば、入れ替わりの面倒ごと自体を避けられる。

① 交点を求める。 $x^3=x$ より $x^3-x=0$、$x(x-1)(x+1)=0$、$x=0,\pm 1$。

② 対称性を使う。 $0<x<1$ では $x>x^3$(直線が上)。図形は原点対称なので、$[0,1]$ の面積を $2$ 倍すればよい。

$$\text{面積}=2{\int }_0^1(x-x^3)dx=2[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}{]}_0^1=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

まとめ:交点が $3$ つある図形は、原点対称を利用して片側 × $2$ で計算する。$y=x^3$(奇関数)と $y=x$(奇関数)の差も奇関数なので、原点対称になる。

発展 — 一歩先へ。 「対称だから片側 $\times 2$」と「そのまま積分すると $0$」は、同じ対称性の表と裏だ。奇関数の積分 ${\int }_{-a}^a=0$ は打ち消しの現れで、面積が欲しいときは打ち消される前に絶対値をとる(${\int }_{-1}^1|x-x^3|dx=\frac{1}{2}$)必要がある。定積分と面積の区別が試される代表例だ。

$3$ 次曲線と直線の囲みには、$\frac{1}{6}$ 公式の親戚として $\frac{1}{12}$ 公式($3$ 次と接線の囲み)や、今回のような $3$ 交点型の対称利用がある。「差の式の次数と根の配置」で使う道具が決まる、と整理しておくとよい。

別解

右側の面積 ${\int }_0^1(x-x^3)dx$ は、$2$ つの「知っている面積」の引き算として絵で読める。

• $y=x$ の下($0$ から $1$ まで): 直角三角形で $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$
• $y=x^3$ の下: ${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$

囲まれた右側のローブは、三角形から曲線の下の部分をくり抜いた残りだから

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

全体はその $2$ 倍で $\frac{1}{2}$。

「差の積分」を機械的に実行する代わりに、面積を図形の足し引きに分解する — 三角形・長方形などの基本図形が混ざる面積問題では、この読み方が計算を軽くし、値の妥当性(三角形 $\frac{1}{2}$ より小さいはず)も確認できる。