6分の1公式の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分区間が $\alpha$ から $\beta$ とバラバラで扱いにくい。まず区間を $0$ から始まる形にそろえるのが定石だ。

$t=x-\alpha$ と置換すると、区間は $[0,\beta -\alpha ]$ に移る。長さを $L=\beta -\alpha$ と名づけておく。

被積分関数は $t(t-L)=t^2-Lt$ という素直な多項式。あとは積分して整理するだけで、$-\frac{L^3}{6}$ が出る。

① 置換。 $t=x-\alpha$($dx=dt$)、$x=\alpha \to t=0$、$x=\beta \to t=L(L=\beta -\alpha )$。また $x-\beta =t-L$。 $${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx={\int }_0^{L}t(t-L)dt.$$ ② 積分。 $${\int }_0^L(t^2-Lt)dt={\left[\frac{t^3}{3}-\frac{L{t}^2}{2}\right]}_0^L=\frac{L^3}{3}-\frac{L^3}{2}=\frac{2L^3-3L^3}{6}=-\frac{L^3}{6}.$$ $L=\beta -\alpha$ を戻して $${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}.$$

まとめ $t=x-\alpha$ で ${\int }_0^L(t^2-Lt)dt=-\frac{L^3}{6}$。積分(定積分)と式変形(置換)の融合。区間を $[0,L]$ にそろえるのが要。

発展 — 一歩先へ。 同じ置換で「べきを上げた」公式が芋づる式に出る。${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$(3次と接線の面積)、${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^{2}dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^5}{30}$。分母 $6,12,30$ はベータ関数 $B(m+1,n+1)$ の顔で、面積公式の一族の背骨になっている。

別解

別解 — 中点を原点に移して対称性で(苦手な人向け)。 区間の真ん中 $c=\frac{\alpha +\beta }{2}$ を原点に移す。$L=\beta -\alpha$ として $x=c+s$ とおくと、$x-\alpha =s+\frac{L}{2}$、$x-\beta =s-\frac{L}{2}$ だから

$$(x-\alpha )(x-\beta )=\left(s+\frac{L}{2}\right)\left(s-\frac{L}{2}\right)=s^2-\frac{L^2}{4}.$$

積分区間は $s\in \left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]$ と原点対称。偶関数なので

$${\int }_{-L/2}^{L/2}\left(s^2-\frac{L^2}{4}\right)ds=2{\int }_0^{L/2}\left(s^2-\frac{L^2}{4}\right)ds=2\left(\frac{L^3}{24}-\frac{L^3}{8}\right)=-\frac{L^3}{6}.$$

放物線 $(x-\alpha )(x-\beta )$ が2解の中点について左右対称、という図形的事実を計算に持ち込むと、被積分関数が偶関数になって半分で済む。1/6公式の「なぜ $(\beta -\alpha {)}^3$ だけで決まるか」も、この対称化で腑に落ちる。