定積分(3次式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 項ごとに積分する。次数が上がっても、手順は同じだ。

原始関数を求める。

$$\int 4x^{3}dx=4\times \frac{x^4}{4}=x^4$$

$$\int 2xdx=2\times \frac{x^2}{2}=x^2$$

係数がきれいに約分される — この問題は、そうなるように作られている。

$$\int (4x^3+2x)dx=x^4+x^2$$

代入して引く。

$${\int }_0^1(4x^3+2x)dx=[x^4+x^2{]}_0^1=(1+1)-(0+0)=2$$

答えは $2$。

検算: 微分して戻す。 $(x^4+x^2{)}^{\prime }=4x^3+2x$ ✓ 元に戻った。

① 原始関数を求める。

$$\int (4x^3+2x)dx=x^4+x^2$$

② 代入して引く。

$${\int }_0^1(4x^3+2x)dx=[x^4+x^2{]}_0^1=(1+1)-0=2$$

まとめ:$3$ 次でも手順は同じ。$4x^3\to x^4$(係数 $4$ が $\frac{4}{4}=1$ になる)のように、係数の変化も確かめると計算ミスが減る。

発展 — 一歩先へ。 「積の積分は、積分の積ではない」— では、積の積分はどう計算するのか。

数IIIで学ぶ「部分積分」が、その答えだ。

積の微分公式

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

を、両辺積分する。

$$fg=\int f^{\prime }gdx+\int f{g}^{\prime }dx$$

移項すると

$$\boxed{\int f{g}^{\prime }dx=fg-\int f^{\prime }gdx}$$

部分積分の公式。 「積の積分を、別の積の積分に置きかえる」ことで、計算しやすい形へ持ち込む技術だ。

例: $\int x{e}^{x}dx$

$f=x$、$g^{\prime }=e^x$ とすると

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int 1\cdot e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$$

積の形が、積分できた。

「微分公式を積分すると、積分公式が生まれる」 — この関係が、積分技術の全体を支えている。

すべての積分技術は、微分公式の"裏返し"なのだ。

そして、それでも積分できない関数がある — $e^{-x^2}$ や $\frac{\sin x}{x}$ のように。

微分は必ずできるが、積分はできないことがある。 この非対称性が、積分を「技術」たらしめている。

数IIの積分($x^n$ だけ)は、その入口にすぎない。 数IIIでは、置換積分・部分積分という強力な道具を手に、より広い世界へ踏み出すことになる。

「バラして積分できる」という幸福な状況を、今のうちに味わっておこう。

別解

「項ごとにバラして積分してよい」 — この性質(線形性)は、当たり前に見えて、実は積分の最も強力な武器である。それを確かめよう。

線形性を、分けて計算して確認する。

$${\int }_0^{1}4x^{3}dx=[x^4{]}_0^1=1$$

$${\int }_0^{1}2xdx=[x^2{]}_0^1=1$$

足す。

$$1+1=2✓$$

まとめて積分しても、バラして積分してから足しても、同じ答え。

$$\boxed{\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}$$

$$\boxed{\int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\text{は定数})}$$

これを「積分の線形性」という。

面積で考えれば、当たり前だ。 「高さが $f+g$ の図形の面積」は、「高さ $f$ の面積」と「高さ $g$ の面積」の和 — 積み重ねればよい。

しかし、当たり前でないことも押さえておこう。

$$\int f(x)g(x)dx\ne \int f(x)dx\times \int g(x)dx$$

積の積分は、積分の積ではない!

確かめる。 $f(x)=g(x)=x$ として、区間 $[0,1]$ で。

左辺: ${\int }_0^{1}x\cdot xdx={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$

右辺: ${\left({\int }_0^{1}xdx\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

$$\frac{1}{3}\ne \frac{1}{4}\text{一致しない!}$$

同じことが、微分でも言える。

$$(fg{)}^{\prime }\ne f^{\prime }\cdot g^{\prime }$$

正しくは、積の微分公式

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

微分でも積分でも、「和と定数倍」は素直に分けられるが、「積と商」は分けられない。

この「素直に分けられる」性質を、数学では線形性という。

線形性を持つ操作は、扱いやすい。

• 微分・積分(和と定数倍について)
• 行列の掛け算
• 期待値($E(X+Y)=E(X)+E(Y)$)
• 極限

逆に、線形でない操作は、途端に難しくなる。

$$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b},\log (a+b)\ne \log a+\log b,(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$$

「バラして計算できる」という、この当たり前の性質。 それがどれほど貴重かは、バラせない場面に出会って、はじめて分かる。

線形性は、数学における"最良の性質"のひとつなのである。