定積分を含む関数(上端 x 型)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上端が $x$ の積分方程式には、使える関係が $2$ つある。

$1$ つ目は微分。${\int }_a^{x}f(t)dt$ を $x$ で微分すると $f(x)$ に戻る。右辺も微分すれば、$f$ の正体が出る。

$2$ つ目は代入。$x=a$ を入れると左辺は ${\int }_a^a=0$。だから右辺も $0$ — これが $a$ の方程式になる。

「微分して $f$、代入して $a$」の二段構え。未知が $2$ つ($f$ と $a$)だから、関係も $2$ つ使う、と覚えると忘れない。

① 両辺を $x$ で微分して $f$ を出す。 左辺は公式より $f(x)$、右辺は $(x^2+x-2{)}^{\prime }=2x+1$。

$$f(x)=2x+1$$

② $x=a$ を代入して $a$ を出す。 左辺は ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$。

$$0=a^2+a-2=(a-1)(a+2)\Rightarrow a=1,-2$$

$$f(x)=2x+1,a=1\text{ または }-2$$

まとめ:「上端 $x$ の定積分 = 式」は $2$ つの武器で攻める。微分すると被積分関数 $f$ が、下端 $x=a$ を代入すると ${\int }_a^a=0$ から $a$ の方程式が出る。この $2$ 段が定石だ。

発展 — 一歩先へ。 「上端 $x$ の積分を微分すると中身に戻る」は、微分積分学の基本定理と呼ばれる、微分と積分が互いに逆であることの正確な表現だ。数IIでは道具として使うが、数III・大学ではこの定理そのものが主役になる。

もし右辺が $x^2+x+1$(実数の根なし)だったら、$F(a)=-1$ を満たす実数 $a$ がなく、問題は成立しない。「$a$ が存在するためには右辺が実数の根をもつこと」— 逆向きに問題の設計を覗くと、代入条件 ${\int }_a^a=0$ の意味がいっそうはっきりする。

別解

$a$ の方程式 $a^2+a-2=0$ を解く場面を、因数分解の目で先取りできる。

右辺を因数分解してみると

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$

「$x=a$ で右辺が $0$」という条件は、$a$ が右辺の根であることに他ならない。因数分解した瞬間、$a=1$ と $a=-2$ が読み取れる。

なぜ $2$ つとも正解なのかも、原始関数の目で見ると明快だ。$f(x)=2x+1$ の原始関数のひとつを $F(x)=x^2+x$ とすると

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$$

$F(a)=a^2+a$ が $2$ になりさえすれば($a=1$ でも $-2$ でも $F(a)=2$)、右辺 $x^2+x-2$ と一致する。スタート地点 $a$ は $2$ か所どちらでもよい — 積分の下端は「どこから測り始めるか」であり、同じ高さの地点が $2$ つあるだけだ。