上端に変数をもつ定積分(微分積分学の基本定理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上端に $x$ がいる積分は、微分積分学の基本定理の出番だ。両辺を $x$ で微分すると、左辺は被積分関数そのもの $f(x)$ に戻る。

右辺の微分は $2x-1$。これで $f(x)=2x-1$ が即座に決まる。

$a$ はまだ残っている。ここで「積分区間の幅が $0$ なら積分は $0$」を使う。$x=a$ を代入すると左辺は ${\int }_a^a=0$、右辺は $a^2-a$。この方程式から $a$ が出る。

① $f$ を求める。 両辺を $x$ で微分すると $$f(x)=\frac{d}{dx}(x^2-x)=2x-1.$$ ② $a$ を求める。 元の式で $x=a$ とすると左辺は ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$。よって $$0=a^2-a=a(a-1)⟹a=0\text{または}a=1.$$

よって $f(x)=2x-1$、$a=0$ または $a=1$。

まとめ 上端 $x$ で微分して $f(x)=2x-1$、$x=a$ の代入で $a^2-a=0$ から $a=0,1$。積分(基本定理)と微分の融合。

発展 — 一歩先へ。 $a$ が2つ出るのは、原始関数 $t^2-t$ が $t=0$ と $t=1$ で同じ値 $0$ をとるからだ。一般に ${\int }_a^{x}f=g(x)$ の下端 $a$ は「$g$ と同じ値を原始関数がとる点」で、$f$ の原始関数のグラフが水平線と何回交わるかだけ存在する。基本定理は、積分の下端の自由度を原始関数の言葉で説明してくれる。

別解

別解 — 右辺を積分で書き直して被積分関数を読む(苦手な人向け)。 微分を使わず、右辺 $x^2-x$ を「$a$ からの積分」の形に無理やり書いてみる。

$$x^2-x=[t^2-t{]}_a^x={\int }_a^x(2t-1)dt.$$

($t^2-t$ の微分が $2t-1$ だから、原始関数として使えた。)与式 ${\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_a^x(2t-1)dt$ が任意の $x$ で成り立つには、被積分関数が一致して $f(t)=2t-1$。

さらに左端が合う条件 $[t^2-t]$ の下端で $a^2-a=0$、すなわち $a=0,1$。実際 $a=0$ でも $a=1$ でも、$t^2-t$ は同じ値 $0$ をとる(放物線 $t^2-t$ が $0,1$ で $x$ 軸を切る)から、どちらでも成立する。

基本定理(本解)を「微分の逆」として使うこのルートは、なぜ $a$ が2つ出るのかを原始関数のグラフで見せてくれる。